Tính toán với phần trăm

Phần trăm thường biểu thị một phần tương đối của một tổng thể, trong đó cả tổng thể được biểu thị là 100%. Phần trăm luôn có thể viết lại dưới dạng phân số.

Phần trăm như một phần của tổng thể

Ta dùng phần trăm khi muốn biểu thị một phần của một tổng thể nào đó. Phần trăm có thể thay cho những cách nói như “một phần tư lớp bị điểm kém” hay “cứ hai người thì có một người là nam”. Ta luôn có một tổng thể, chẳng hạn cả lớp học, rồi nói rằng một phần tư trong số đó bị điểm kém. Nếu lớp có 32 học sinh và một phần tư bị điểm kém, thì số học sinh bị điểm kém bằng:

$$\frac{1}{4}\cdot 32=8\text{cũng chính là}\frac{32}{4}=8$$

Trường hợp thứ hai, xét một thị xã có khoảng 60.000 dân. Nếu cứ hai người dân thì có một người là nam, nghĩa là một nửa trong số họ là nam, ta viết:

$$\frac{1}{2}\cdot 60000=30000\text{cũng chính là}\frac{60.000}{2}=30.000$$

Ta cũng có thể nói “cứ một trăm người ở thị xã thì có một nhà toán học”. Khi đó thị xã có $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$ nhà toán học. “Cứ một trăm người có một người” cũng chính là “một phần trăm số dân”.

Bây giờ có thể đưa ra khái niệm phần trăm. Một phần trăm, kí hiệu 1%, là một phần một trăm của tổng thể. Nghĩa là khi nói “cứ một trăm người ở thị xã thì có một nhà toán học” và “một phần trăm số người ở thị xã là nhà toán học”, ta nói cùng một điều. Muốn tính một phần trăm của tổng thể, ta nhân tổng thể với $\frac{1}{100}$ hoặc chia cho 100, như nhau cả.

Phần trăm dễ dàng đổi sang phân số để tính tiếp. Nếu nói “ở thị xã có x% người tóc đen”, thì cũng như nói “ở thị xã có $\frac{x}{100}\cdot 60.000$ người tóc đen”. Khi đó 100% là cả tổng thể, tức là toàn bộ dân số. Câu “100% học sinh được lên lớp” nghĩa là tất cả học sinh đều lên lớp. Câu “0% học sinh phải ở lại lớp” nói rằng không ai phải ở lại lớp. Ví dụ:

1. 35% dân thị xã đi xe buýt. Có bao nhiêu người đi xe buýt? 35 % cũng chính là $\frac{35}{100}$ tổng thể (= “ba mươi lăm phần trăm của tổng thể”). Ta tính: $\frac{35}{100}\cdot 60.000$. Có thể tính đơn giản bằng cách chia 60.000 cho một trăm trước rồi nhân kết quả với 35. Thực chất ta biến đổi như sau:

   $$\frac{35}{100}\cdot 60.000=\frac{35\cdot 60.000}{100}=\frac{35\cdot 600}{1}=35\cdot 600=21.000$$

   Có thể hình dung là trước hết ta tính số dân ứng với một phần trăm: $\frac{1}{100}\cdot 60.000=600$. Một phần trăm ứng với 600 người. Ta cần biết 35% số dân, nên chỉ việc nhân 600 người này với 35: 35 · 600 = 21.000.

2. Mỗi ngày Minh kiếm được trung bình 500 nghìn đồng. Hôm nay Minh chỉ kiếm được 75% mức thu nhập trung bình. Hôm nay Minh kiếm được bao nhiêu? Cách làm vẫn như cũ. Tổng thể là 500 (nghìn đồng), còn 75% đổi thành phân số $\frac{75}{100}$. Phân số này có thể rút gọn thành $\frac{3}{4}$. Nhân tổng thể với phân số đó:

   $$\frac{3}{4}\cdot 500=\frac{3\cdot 500}{4}=3\cdot 125=375$$

   Vậy Minh kiếm được 375 nghìn đồng.

3. Ngày hôm sau Minh gỡ lại và kiếm được 150% mức thu nhập trung bình. Minh kiếm được bao nhiêu? Liệu có thể có hơn 100% không, khi ta đã nói 100% là cả tổng thể? Có chứ. Cũng như ai đó có thể kiếm “gấp ba lần mức trung bình”, thì ai đó cũng có thể kiếm được 150% mức trung bình của mình.

   Ta làm hoàn toàn tương tự. Đổi 150% thành phân số $\frac{150}{100}$ rồi nhân phân số này với thu nhập trung bình của Minh, tức là 500:

   $$\frac{150}{100}\cdot 500=\frac{150\cdot 500}{100}=\frac{150\cdot 5}{1}=150\cdot 5=750$$

Phần trăm và quy tắc tam suất

Một phần của tổng thể biểu thị bằng phần trăm có thể dễ dàng đưa về quy tắc tam suất. Vẫn xét Minh: trung bình mỗi ngày Minh kiếm được 500 nghìn đồng, hôm nay chỉ kiếm được 75% mức đó. Theo quy tắc tam suất, ta viết:

$$\begin{array}{rcl}100\mathrm{\%}& \dots & 500\text{ nghìn đồng}\\ 75\mathrm{\%}& \dots & x\text{ nghìn đồng}\end{array}$$

Vì hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có:

$$\frac{75}{100}=\frac{x}{500}$$

Nhân hai vế với 500, ta được:

$$\frac{75\cdot 500}{100}=x$$

Từ đây dễ dàng tính ra kết quả:

$$\begin{array}{rcl}\frac{75\cdot 500}{100}& =& x\\ \frac{75\cdot 5}{1}& =& x\\ x& =& 75\cdot 5\\ x& =& 375\end{array}$$

Ta thấy kết quả giống hệt.

Nếu biết một phần mà chưa biết tổng thể?

Trong các ví dụ trên, ta luôn biết chính xác giá trị của tổng thể và phải tính một phần cho trước theo phần trăm. Nhưng nếu biết phần đó mà chưa biết tổng thể thì sao? Ví dụ: Minh có 120 tấm thẻ bài hình quái vật xanh lá. Mặc dù đó là một số lượng đáng nể, nhưng Minh vẫn chỉ có số thẻ bằng sáu mươi phần trăm số thẻ của Lan. Lan có bao nhiêu tấm thẻ?

Ở đây ta biết một phần nhưng chưa biết tổng thể, phải tính ra. Ta biết rằng 120 tấm thẻ ứng với 60% số thẻ của Lan. Muốn biết một phần trăm ứng với bao nhiêu tấm thẻ, chỉ cần chia một trăm hai mươi cho sáu mươi. Ta được hai: 120/60 = 2. Một phần trăm số thẻ thực ra là hai tấm thẻ quái vật xanh lá. Vì ta tính tổng thể, mà tổng thể luôn là 100%, nên nhân số thẻ này với một trăm. Ta được 200 tấm thẻ, đó là đáp án đúng.

Có thể kiểm tra bằng cách tính 60% của 200: chỉ cần nhân

$$\frac{60}{100}\cdot 200=\frac{3}{5}\cdot 200=3\cdot 40=120$$

Ta thấy 60% của 200 ứng với 120, đúng bằng số thẻ quái vật xanh lá mà Minh có.

Cộng phần trăm

Khi giải một bài toán có phần trăm, tốt nhất là thay phần trăm bằng các giá trị cụ thể rồi mới cộng chúng lại. Đề bài có thể như sau: Nam kiếm được 15 triệu đồng, Hùng 20 triệu đồng và Mai 25 triệu đồng. Hãy tính xem Hoa kiếm được bao nhiêu, biết Hoa kiếm được 30% thu nhập của Nam cộng 40% thu nhập của Hùng cộng 25% thu nhập của Mai.

Ở đây có ba biểu thức phần trăm, nhưng mỗi biểu thức tính từ một tổng thể khác nhau: Nam, Hùng và Mai mỗi người kiếm một số tiền khác nhau. Trước hết tính 30% lương của Nam. Một phần trăm là 15.000.000/100 = 150.000. Sau đó nhân 150.000 · 30 và được 4.500.000. Tiếp theo đến 40% lương của Hùng. Một phần trăm là 20.000.000/100 = 200.000. Lại nhân với 40, ta có 200.000 · 40 = 8.000.000. Phần cuối cùng là 25% của Mai. Mai kiếm được 25.000.000, một phần trăm của số đó là 25.000.000/100 = 250.000. Nhân với 25, ta được 250.000 · 25 = 6.250.000. Bây giờ chỉ việc cộng tất cả các kết quả lại: 4.500.000 + 8.000.000 + 6.250.000 = 18.750.000. Hoa kiếm được 18.750.000 đồng, một khoản thu nhập khá tốt.

Tuy nhiên, có lúc ta thực sự phải cộng các phần trăm. Chỉ có thể cộng phần trăm khi chúng có cùng đại lượng gốc, cùng một tổng thể. Chẳng hạn nếu Tuấn kiếm được 20% thu nhập của Hùng cộng 30% thu nhập của Hùng, ta có thể cộng các phần trăm này, vì chúng có cùng đại lượng gốc: cả hai biểu thức đều tính từ lương của Hùng. Kết quả là 20% + 30% = 50%. Tuấn kiếm được một nửa thu nhập của Hùng, tức là mười triệu đồng.

Bẫy khi cộng dồn phần trăm

Bây giờ hãy hình dung tình huống sau: năm đầu tiên anh Bình có lương 10 triệu đồng. Năm thứ hai anh được tăng lương 30%. Năm tiếp theo, năm thứ ba, anh lại được tăng lương, lần này chỉ 10%. Hỏi bây giờ lương của anh Bình là bao nhiêu?

Loại bài này rất dễ khiến ta cộng các phần trăm như trong trường hợp trước. Dù sao thì có vẻ như ta vẫn tính với cùng một đại lượng gốc là lương của anh Bình. Vậy ta tính 30% + 10% rồi cộng vào lương ban đầu. Khi đó anh Bình sẽ có lương 14 triệu đồng. Nhưng không phải vậy. Hãy xem lại từng bước.

Năm đầu tiên anh nhận 10 triệu. Năm thứ hai anh nhận 10 triệu + 30%, tức là 13 triệu, chắc bạn đã tự tính ra. Năm tiếp theo lương được tăng thêm mười phần trăm. Nhưng chú ý! Đại lượng gốc không còn là mười triệu như năm đầu nữa. Đại lượng gốc đã là mười ba triệu! Mà như ta biết, chỉ có thể cộng phần trăm khi chúng được tính từ cùng một đại lượng gốc. Trong trường hợp này đại lượng gốc khác nhau: lần đầu là 10 triệu, lần sau là 13 triệu. Vậy năm cuối anh Bình nhận 13 triệu + 10%, tức là 14,3 triệu đồng.

Đáp án 14 triệu vừa sai, vừa làm anh Bình đáng thương bị thiệt 300 nghìn đồng. Đừng đối xử tệ với anh Bình!

Mua sách giáo khoa toán khi giảm giá!

Một ví dụ kinh điển khác là giảm giá. Hãy tưởng tượng cửa hàng có một cuốn sách giáo khoa toán mà bạn rất muốn được tặng vào ngày sinh nhật. Mà còn muốn gì khác nữa, phải không? :-)

Nhưng trước Tết cửa hàng tăng giá cuốn sách thêm 20 %. Bạn quyết định chờ và mua sau Tết. Bạn đã làm đúng, vì sau Tết cửa hàng giảm giá cuốn sách 20 %. Câu hỏi là: giá cuốn sách có bằng giá trước khi tăng không? Hay đắt hơn/rẻ hơn?

Lẽ thường của nhiều người lại mách rằng giá sẽ như cũ, nhưng không phải vậy. Hãy tính thử. Giả sử cuốn sách giá 300 nghìn đồng. Tăng giá 20% nghĩa là cuốn sách đắt thêm $\frac{20}{100}\cdot 300=60$ nghìn đồng. Khi đó sách giá 360 nghìn đồng.

Nhưng giảm giá 20% không còn tính từ đại lượng gốc 300, mà từ đại lượng gốc 360! Nghĩa là cuốn sách được giảm $\frac{20}{100}\cdot 360=72$ nghìn đồng. Sau khi giảm giá, sách còn 288 nghìn đồng.

(Mà thật ra, ai lại đi mua sách giáo khoa toán khi đã có trang web này ;-))

Phần nghìn

Phần nghìn hay được dùng nhất khi đo nồng độ cồn trong máu người lái xe. Một số người lầm tưởng rằng phần nghìn là một phần nghìn của một phần trăm, nhưng đó là sai lầm, hãy cẩn thận. Phần nghìn là một phần nghìn của tổng thể. Ngoài ra, tính với phần nghìn hoàn toàn giống như tính với phần trăm. Muốn tìm x phần nghìn của 5.000, ta tính $\frac{x}{1000}\cdot 5000$. Thay cho 100, mẫu số của phân số là 1.000. Vậy ba phần nghìn của 5.000 là $\frac{3}{1000}\cdot 5000=3\cdot 5=15$.

Phần nghìn được kí hiệu bằng ‰. Ta có $x‰=\frac{x}{10}\mathrm{\%}$.

Xem thêm trong bài riêng về phần nghìn.

Cách viết phần trăm

Trong tiếng Việt, kí hiệu % viết liền ngay sau số, không có dấu cách: “100%”, đọc là “một trăm phần trăm”. Một số ngôn ngữ khác thì phân biệt hai cách viết. Chẳng hạn trong tiếng Séc, “100 %” có dấu cách đọc là “một trăm phần trăm”, còn “100%” viết liền lại là tính từ, nghĩa là “hoàn toàn, trọn vẹn”. Vì vậy khi đọc tài liệu nước ngoài, bạn có thể gặp cả hai cách viết.

Điểm phần trăm

Ngoài phần trăm thông thường còn có điểm phần trăm. Hai khái niệm này khác nhau thế nào? Hãy tưởng tượng hai năm trước có 20 % người dùng một trình duyệt web nào đó, còn năm nay đã có 30% người dùng nó. Mức tăng giữa hai năm là bao nhiêu? Sẽ sai nếu nói rằng mức tăng là mười phần trăm. Nếu lúc đầu có 20% người dùng trình duyệt, sau đó là 30%, thì bây giờ số người dùng nó nhiều hơn trước một nửa. Tức là tăng năm mươi phần trăm.

Nhưng nói mức tăng là 50% thì hơi khó hiểu, trong khi nói số phần trăm tăng thêm mười thì ai cũng hiểu. Đó chính là lúc dùng điểm phần trăm. Trong trường hợp này có thể nói tỉ lệ người dùng trình duyệt đó tăng mười điểm phần trăm. Điểm phần trăm được dùng khi muốn biểu thị hiệu đơn giản giữa hai số liệu phần trăm.