Събиране, изваждане, умножение и деление на дроби

С дроб можем да запишем всяко рационално число. Дробта се състои от две части. Горната част се нарича числител, а долната – знаменател. Съществува и сложна дроб, която не е нищо друго освен дроб, която има в числителя или в знаменателя друга дроб. А между другото всички знаци между дробите (плюс, минус, равно и т.н.) се пишат задължително на нивото на дробната черта, не на нивото на числителя, нито на нивото на знаменателя. А впрочем, знаеш ли, че пет от четирима души имат проблеми с дробите?

Основни сведения

Дробта има следния вид:

$$\frac{\text{числител}}{\text{знаменател}}$$

Пример за дроб е например дробта

$$\frac{2}{5},$$

тоест две пети. Знаменателят ни казва какви са частите: пети, трети, шести… Това е основното название на дробта и произлиза от числото, което стои под дробната черта. Числителят, напротив, определя броя, в предишния пример това бяха две пети. Толкова за названията.

В числителя и в знаменателя по същество може да има всяко число или отново дроб, най-често обаче се срещаме с дроб, при която и числителят, и знаменателят са естествени числа.

Дробта е само по друг начин записано деление, стойността на дробта пресмятаме, като разделим числителя на знаменателя. В общия случай, ако имаме дроб $\frac{a}{b}$, стойността на дробта е числото a/b. Предишната дроб (две пети) би имала стойност 2/5, което е 0,4.

Привеждане към несъкратима дроб

С дробите можем да работим по различни начини и да променяме вида им – да ги разширяваме и съкращаваме, – като стойността на дробта изобщо не се променя. Може лесно да си го представим и с думи, например една втора има същата стойност като две четвърти или четири осми. Това идва от факта, че дробта е само преоблечено деление. А до числото една втора можем да стигнем с деление на няколко различни числа. Така че четири, разделено на осем, е една втора. Десет, разделено на двайсет, също е една втора. Затова дробите

$$\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\dots =\frac{10}{20}=\dots$$

имат една и съща стойност.

Както се вижда, до другите дроби със същата стойност стигнахме, като в първоначалната дроб 1/2 умножихме с двойката и числителя, и знаменателя. След умножението излезе дробта 2/4, две четвърти. Ако и при тази дроб умножим числителя и знаменателя с двойката, получаваме дробта 4/8, четири осми. Така разширихме дробта.

Обратното действие на разширяването е съкращаването на дроби, при което и числителя, и знаменателя делим на едно и също число. Ако искаме да съкратим дроб, трябва да намерим число, на което и числителят, и знаменателят се делят без остатък. Съкращаването на дроби на практика се използва много често, защото със съкращаването дробта значително се опростява и се работи по-лесно с нея. Ако имаме дроб 12/18, на пръв поглед установяваме, че и двете числа са четни, следователно се делят на две. Разбира се, можем да съкратим дробта с две, но още при втори поглед се вижда, че и числителят, и знаменателят се делят и на шест. Ако съкратим дробта с шест, получаваме по-проста дроб, отколкото ако съкращавахме само с две. Затова съкращаваме дробта с шест. Получаваме дробта 2/3.

Тази дроб вече не може да се съкрати повече, няма число (по-голямо от едно), на което да можем да разделим без остатък и числителя, и знаменателя. За дроб, която вече не може да се съкрати повече, казваме, че е несъкратима. Опитвай се винаги да работиш с несъкратими дроби, ако някъде работиш с дроби, първо погледни дали някои дроби не могат да се съкратят. Ще спестиш време. Още един пример:

$$\frac{24}{42}$$

На кое число се делят едновременно 24 и 42? И двете са четни числа, така че със сигурност на две. Разделяме и числителя, и знаменателя на две:

$$\frac{24}{42}=\frac{12}{21}$$

Има ли някакво число, което дели едновременно двете числа? Да, този път тройката.

$$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$$

Има ли още някакво число, което дели и числителя, и знаменателя? Няма, дробта е несъкратима.

Умножение на дроби

Може би ще се изненадаш, но умножението и делението при дробите са по-лесни от събирането и изваждането. Ако трябва да умножиш две дроби, просто умножаваш числителя на първата дроб с числителя на втората дроб и знаменателя със знаменателя. Това е всичко. Пример за умножение на дроби:

$$\frac{2}{3}\cdot \frac{5}{7}=\frac{2\cdot 5}{3\cdot 7}=\frac{10}{21}$$

При умножението на дроби има и още един начин за съкращаване. Не е нужно да съкращаваш само в рамките на една дроб, можеш да съкращаваш на кръст. Ако числителят на първата дроб може да се съкрати със знаменателя на втората дроб, можеш да го направиш и да си опростиш умножението. Пример (съкратените числа са очертани):

$$\frac{\boxed{\text{4}}}{5}\cdot \frac{3}{\boxed{\text{8}}}=\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{10}$$

Какво направихме? Четворката и осмицата разделихме на четири. Стойността на произведението остана непроменена. Ако не го бяхме съкратили сега, можехме да го съкратим чак след умножението.

Умножението на дроб с цяло число просто свеждаш до умножение на две дроби, като цялото число c записваш като c/1:

$$\frac{3}{7}\cdot 5=\frac{3}{7}\cdot \frac{5}{1}=\frac{3\cdot 5}{7\cdot 1}=\frac{15}{7}$$

Както се вижда, ако умножаваш дроб с цяло число, достатъчно е да умножиш с това число числителя на дробта.

$$c\cdot \frac{a}{b}=\frac{ac}{b}$$

Деление на дроби

Делението на дроби на практика е същото като умножението. Ако искаш да разделиш една дроб на друга, обръщаш втората дроб (делителя) и умножаваш дробите както обикновено. Прост пример за деление на дроби (забележи, че след обръщането на дробта можем да съкратим 12 и 6):

$$\frac{12}{7}:\frac{6}{11}=\frac{12}{7}\cdot \frac{11}{6}=\frac{2}{7}\cdot \frac{11}{1}=\frac{22}{7}$$

Делението свеждаме до умножение, като обръщаме дробта $\frac{6}{11}$ в дробта $\frac{11}{6}$ и умножаваме с другата непроменена дроб. Защо работи така? Достатъчно е да си го представим на по-прост пример, например деление на една втора. Когато делим

$$\frac{10}{1/2}=?,$$

какво всъщност правим? Установяваме колко пъти една втора се побира в десет. Във всяка единица половината се побира точно два пъти (два пъти по една втора е едно), така че в десет се побира двайсет пъти. До същия резултат стигаме, когато умножим две по десет – също двайсет. А каква стойност получаваме, когато обърнем една втора? Две върху едно, което е две.

$$\frac{1}{2}\to \frac{2}{1}=2$$

Накрая получаваме:

$$\frac{10}{1/2}=10\cdot \frac{2}{1}=10\cdot 2=20.$$

Събиране на дроби

Събирането на дроби вече е малко по-сложно. Дробите можем да събираме директно само ако имат един и същ знаменател. Ако дробите нямат един и същ знаменател, трябва да ги приведем към общ знаменател. След това действаме както при умножението – просто събираме числителя на първата дроб с числителя на втората дроб. За разлика от умножението обаче оставяме същия знаменател. Първо пример за събиране на дроби с еднакъв знаменател:

$$\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Логично ли е? Една втора плюс пет втори е равно на шест втори – напълно логично.

Ако дробите нямат еднакъв знаменател, което е по-честият случай, трябва да ги приведем към общ знаменател, което означава да разширим едната или двете дроби така, че да получим един и същ знаменател. Нека искаме да съберем тези две дроби:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=?$$

Първата дроб има в знаменателя тройка, втората дроб двойка. Така трудно можем да ги съберем, но ако първата дроб разширим с две, ще има в знаменателя шестица, а ако втората дроб разширим с три, ще има в знаменателя също шестица. Сега вече двете дроби имат еднакъв знаменател и можем просто да ги съберем. Значи в първата стъпка разширяваме дробите така, че да имат общ знаменател:

$$\frac{2}{3}+\frac{5}{2}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}+\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3}=\frac{4}{6}+\frac{15}{6}$$

А сега просто събираме числителите, а знаменателя оставяме същия:

$$\frac{4}{6}+\frac{15}{6}=\frac{19}{6}$$

Внимавай: при събирането не можем да съкращаваме между дробите като при умножението. Например след преобразуването имахме в знаменателя на първата дроб шестица, а в числителя на втората дроб петнайсет. Въпреки това не можем да съкратим с три:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}+\frac{\boxed{\text{15}}}{6}\ne \frac{4}{2}+\frac{5}{6}$$

Това съкращаване бихме могли да си позволим само ако умножавахме тези дроби:

$$\frac{4}{\boxed{\text{6}}}\cdot \frac{\boxed{\text{15}}}{6}=\frac{4}{2}\cdot \frac{5}{6}$$

Как в общия случай да приведем две дроби към общ знаменател? Първата дроб разширяваме със знаменателя на втората дроб, а втората дроб разширяваме със знаменателя на първата дроб. В общ вид можем да го запишем така:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}$$

Първата дроб разширихме с израза d, който е знаменателят на втората дроб. Втората дроб разширихме с израза b, който е знаменателят на първата дроб. Конкретен пример:

$$\frac{7}{4}+\frac{9}{8}=\frac{7\cdot 8}{4\cdot 8}+\frac{9\cdot 4}{8\cdot 4}$$

Първата дроб разширихме с осмицата, втората дроб с четворката. След това вече можем да съберем дробите.

Общата формула за събиране на дроби би изглеждала така:

$$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$$

Изваждане на дроби

Изваждането на дроби протича точно като събирането на дроби, само че получените числители не ги събираме, а ги изваждаме. Така че предишната обща формула за събиране преобразуваме по следния начин:

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}$$

Конкретен пример; първо привеждаме към общ знаменател:

$$\frac{7}{9}-\frac{2}{5}=\frac{7\cdot 5}{9\cdot 5}-\frac{2\cdot 9}{5\cdot 9}=\frac{35}{45}-\frac{18}{45}$$

А сега просто изваждаме числителите, а знаменателите оставяме същите:

$$\frac{35}{45}-\frac{18}{45}=\frac{35-18}{45}=\frac{17}{45}$$

Правило на кръста

При уравнения можем да използваме правилото на кръста, което опростява равенство на две дроби. На практика това не е нищо друго освен две еквивалентни преобразувания на даденото уравнение. Нека имаме уравнение с две дроби

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Това уравнение можем да преобразуваме, като го умножим със знаменателя на първата и след това и на втората дроб. Първо умножаваме уравнението със знаменателя на първата дроб, тоест с израза b. Получаваме

$$\frac{ab}{b}=\frac{bc}{d}.$$

След това умножаваме уравнението с израза d и получаваме

$$\frac{abd}{b}=\frac{bcd}{d}.$$

В първата дроб съкращаваме b, а във втората d. Резултатът е уравнението

$$ad=bc.$$

Това можем да приемем за формула – ако имаме уравнение във вид на две дроби, можем да го преобразуваме по следния начин:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{b}& =& \frac{c}{d}\to \\ ad& =& bc\end{array}$$

Следва пример. В първата стъпка преобразуваме дробите по предишната формула, а във втората стъпка само леко преобразуваме изразите от двете страни.

$$\begin{array}{rcl}\frac{x+2}{x}& =& \frac{3x}{x+2}\\ (x+2)(x+2)& =& x\cdot 3x\\ (x+2{)}^2& =& 3x^2\end{array}$$

По-нататък уравнението би се решило като обикновено квадратно уравнение, но това вече е извън обхвата на тази статия.

Свързани теми

Дробите често се срещат при опростяването на изрази, с това се занимава статията Дробни изрази. Съществува и специален алгоритъм за деление на многочлен на многочлен.