Рационални числа

Рационалните числа са всички числа, които могат да се запишат като частно на две цели числа, т.е. във вид на дроб.

Определение

Рационалните числа са следователно всички числа, които могат да се запишат във вида

$$\frac{a}{b}a,b\in \mathbb{Z},b\ne 0.$$

Условието и двете числа да са цели има очевиден смисъл. Ако изберем число, което не е рационално, например π, и съставим дроб така:

$$\frac{\pi }{1},$$

ще получим обратно числото π, което не е рационално. Затова и числителят, и знаменателят трябва да са цели числа. А тъй като не можем да делим на нула, знаменателят трябва да е различен от нула.

Можем да кажем също, че рационалните числа са числата с краен десетичен запис и числата с безкраен десетичен запис, в който някоя част се повтаря периодично. Ето примери за рационални числа, първо във вид на дроб:

$$\frac{1}{3},-\frac{5}{9},\frac{13}{29},\frac{4}{1},\dots$$

а след това числа във вид на десетично число: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…=0,(3)

Периодичен запис

В предишния пример имахме числото 0,3333… Това е десетичният запис на дробта 1/3 и е число с безкраен десетичен запис. Въпреки това е рационално, защото записът е периодичен. Периодичен запис означава, че от определено място нататък непрекъснато се повтаря една и съща последователност от цифри. В нашия случай до безкрайност се повтаряше тройката. Но до безкрайност може да се повтаря и например последователността от цифри 12345 – пак ще е число с период, рационално число.

Така всяко число с краен десетичен запис е рационално. Всяко число с безкраен десетичен запис, в който някоя част се повтаря периодично, също е рационално. Число с безкраен десетичен запис, в който никоя част не се повтаря периодично, е ирационално число.

Периодът се означава или с три точки, или, по-често, с кръгли скоби около цифрите, които се повтарят периодично (в някои страни вместо скоби пишат черта над тях, например $0,\bar{3}$). Периодично може да се повтаря една цифра, но също и няколко цифри. Периодът може да започва веднага в началото на дробната част или по-късно. Всичко това са периодични числа:

$$\begin{array}{rclcl}7/3& =& \mathrm{2,333}33\dots & =& 2,(3)\\ 16/11& =& \mathrm{1,454}545\dots & =& 1,(45)\\ 11/6& =& \mathrm{1,833}333\dots & =& 1,8(3)\end{array}$$

Означение и значение

Рационалните числа означаваме с буквата Q с удвоени дъги: ℚ. Идва от английското „quotient“, на български „частно“, което означава резултата от деление.

Рационалните числа се използват за определяне на част от цяло. Например „половина“ или „десета част“. Това са означения за част от цяло, която в рационалните числа може да се изрази като частно 1/2 и 1/10. В тези случаи знаменателят означава цялото, а числителят – частта от цялото. Ако числителят е равен на знаменателя, това означава, че имаме цялото. Такива количества обикновено се преобразуват в проценти.

Свойства

1. Рационалните числа са безкрайно изброимо множество.

• Рационалните числа са затворени относно операциите събиране, изваждане, умножение и деление. Това означава, че когато разделим две рационални числа, получаваме отново рационално число. Това е промяна в сравнение с целите числа, които не бяха затворени относно делението.
• Рационалните числа съдържат всички цели числа. Ако всички рационални числа могат да се изразят с дроб a/b, достатъчно е b = 1 и след деление a/1 = a винаги получаваме обратно стойността на числителя.
• Ако вземем две рационални числа a и b, за които a < b, винаги можем да намерим още едно рационално число q, за което a < q < b. Иначе казано, между които и да са две рационални числа винаги можем да намерим още някое рационално число. Важи и по-силна версия: между които и да са две рационални числа съществуват безкрайно много други рационални числа.
• Следствие от предишното твърдение е, че не съществува най-малко положително (или най-голямо отрицателно) рационално число. Можем да го докажем с доказателство от противното. Нека m е най-малкото положително рационално число. Тогава не бихме могли да намерим по-малко положително рационално число. Но според предишното твърдение 0 < m и следователно съществува рационално число s, за което 0 < s < m. Намерихме число s, което е по-голямо от нула (положително) и е по-малко от числото m. Това е противоречие с това, че m е най-малкото положително рационално число.

Операции с рационални числа

Всички обичайни и основни операции са описани в статията дроби.

Преобразуване на периодично число в дроб

Тъй като периодичното число е същевременно рационално число, трябва да може да се преобразува в дроб. Ще покажем как се прави. В началото нека имаме периодичното число a = 0,333… Записваме

$$a=0,(3)$$

Сега ще извършим обичайните еквивалентни преобразувания на уравнения и ще умножим цялото уравнение по десет:

$$10a=3,(3)$$

Отдясно тройката се премести при единиците, а след десетичната запетая остават все още безкрайно много тройки. Сега от уравнението изваждаме a, тоест изваждаме 0,333…, с което се освобождаваме от безкрайния запис.

$$9a=3$$

Тази стъпка може би беше малко сложна, затова ще я разпиша. Извършихме следната операция:

$$\begin{array}{ccccccc}& 3& ,& 3& 3& 3& \dots \\ -& 0& ,& 3& 3& 3& \dots \\ =& 3& ,& 0& 0& 0& \dots \end{array}$$

Горното уравнение 9a = 3 само разделяме на девет и получаваме резултата:

$$a=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$

Нека опитаме още един пример:

$$a=\mathrm{1,454}545\dots =1,(45)$$

Начинът ще е малко по-различен. В предишния пример имахме период с дължина едно. По-точно казано, периодът можеше да е дълъг колкото поискаме, защото се повтаряха все едни и същи цифри, но ни беше удобно да е с дължина едно. Сега имаме период с дължина две. Пак бихме могли да вземем период с дължина шест, но това не ни е удобно. За да извадим наистина целия период, този път трябва да умножим по сто:

$$100a=145,(45)$$

Изваждаме едно a:

$$99a=144$$

И разделяме на 99:

$$a=\frac{144}{99}=\frac{16}{11}$$

Ако на калкулатора опиташ да разделиш тези числа, ще получиш именно 1,454545… Повечето калкулатори обаче закръглят, така че може да ти покажат малко по-различен резултат.

Интересен факт за 0,9999…

За любопитство нека преобразуваме в дроб и периодичното число

$$a=0,(9)$$

Умножаваме по десет:

$$10a=9,(9)$$

Изваждаме a:

$$9a=9$$

Разделяме на девет:

$$a=1$$

Виждаме, че получихме единица, тоест вярно е, че числото 0,999… е равно на числото 1.

Връзки

• Уикипедия