Логаритмични функции

Логаритмичната функция е обратна функция на показателната функция.

Какво е логаритъм

Логаритмичната функция записваме с думата lg, а ако става дума за натурален логаритъм (вж. по-нататък), го означаваме с ln. Основният запис на логаритмичната функция изглежда така:

$$y={\log }_{a}x$$

Този запис четем: „Логаритъм от числото x при основа a“. Тази логаритмична функция е обратна на показателната функция f(x) = a^x. Стойността на логаритмичната функция се нарича логаритъм.

Тъй като логаритмичната функция е обратна на показателната, трябва да е в сила следната еквивалентност:

$$y={\log }_{a}x\iff a^y=x$$

Тоест ако стойността a^y е равна на x, тогава логаритъмът от x при основа a е равен на y. Да опитаме да покажем няколко примера. Нека имаме показателната функция f(x) = 2^x. Как би изглеждала обратната (логаритмичната) функция? Така: f⁻¹(x) = log₂x. Ако заместим в показателната функция тройка, получаваме: f(3) = 2³ = 8.

Каква връзка трябва да е в сила сега? Трябва да е в сила, че ако вложим в обратната функция f⁻¹ осмица, логаритмичната функция трябва да ни върне тройка. Защото числото 3 беше аргументът на показателната функция, а числото 8 беше резултатът. Обратната функция се държи обратно, входът е числото 8, а изходът е числото 3. Засега можеш да провериш това например в Google, че наистина е така (в Google lg означава логаритъм при основа две).

Така че ако запишем 2³ = 8, обратната логаритмична функция ни дава връзката: log₂8 = 3. Какво е тогава логаритъм? Логаритъмът е степенният показател, на който трябва да степенуваме основата, за да получим аргумента x.

Важни логаритмични функции

Някои логаритмични функции са особено важни. Конкретно става дума за „натурален логаритъм“, който има за основа числото на Ойлер. Него означаваме с буквата e. То е ирационално число, тоест число с безкраен непериодичен десетичен запис. Приблизителната му стойност е: e = 2,718 281 828…. Натуралния логаритъм записваме или като log_ex, или по-просто като ln x. Буквата „n“ там е от латинското „logarithmus naturalis“, но за запомняне ти стига английският, където е подобно: „natural“ = „натурален“.

Друг важен логаритъм е „десетичният логаритъм“, който е логаритмична функция при основа десет. Обикновено го записваме или като log₁₀x, или съкратено като lg x. Означението lg винаги означава логаритъм при основа 10.

Свойства на логаритмичната функция

Както вече знаем, логаритмичната функция е обратна на показателната. Благодарение на това тя поема и някои нейни свойства и ограничения. Знаем, че показателната функция има вида f(x) = a^x, където a е реално число, по-голямо от нула и различно от единица. Благодарение на това и основата на логаритъма a трябва да е по-голяма от нула и различна от единица. Така че още веднъж записът на логаритмичната функция:

$$y={\log }_{a}x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Тъй като е обратна функция, вече знаем и дефиниционното множество, и множеството от стойности. В сила е, че дефиниционното множество на логаритмичната функция е същото като множеството от стойности на показателната функция, така че дефиниционното множество на логаритмичната функция е равно на (0; +∞). Множеството от стойности на логаритъма е тогава същото като дефиниционното множество на показателната функция, т.е. множеството на всички реални числа.

Графики на логаритмични функции

Подобно на показателната функция трябва да разграничаваме два случая. Когато основата a е от интервала (0; 1) и когато е от интервала (1; +∞). В първия случай, тоест a е от интервала (0; 1), графиката изглежда така:

В случай че основата a е от интервала (1; +∞), графиката изглежда така:

Нека погледнем още графиката на показателната и обратната ѝ логаритмична функция в една графика (синьото е логаритъмът, червеното е показателната функция):

Защо графиките минават през точката (1; 0)

И двете графики пресичат оста x в точката x = 1. Това е в ред, като се има предвид, че всяка показателна функция минава през точката (0; 1). Тъй като логаритъмът е обратна функция, тази функция винаги трябва да минава през точката (1; 0). Това има своята логика. Ако графиката минава през точката (1; 0), това означава, че за вход на функцията x = 1 имаме изход f(x) = 0.

В случая на логаритмите това означава, че търсим степенен показател, с който, когато степенуваме основата, получаваме единица. Какъв е този степенен показател? Само нулата. Всичко на нулева степен е едно, затова каквато и да е основата, логаритмичната функция ще минава през точката (1; 0), защото всичко на нулева степен е едно. (Забележка: не забравяй, че основата не може да е съвсем каквато и да е: a>0 и a ≠ 1.)

Теореми за логаритмите (формули)

Следват някои важни връзки и формули, които можем да кажем за логаритмите:

Да предположим, че основата a наистина е основа на логаритъм, тоест a>0, a ≠ 1. Нека още x₁ и x₂ са произволни положителни реални числа. Тогава е в сила:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_a(x_1\cdot x_2)& =& {\log }_a{x}_1+{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a\left(\frac{x_1}{x_2}\right)& =& {\log }_a{x}_1-{\log }_a{x}_2\\ {\log }_a{x}^r& =& r\cdot {\log }_{a}x\mathrm{\forall }r\in \mathbb{R}\\ {\log }_a\sqrt[n]{x}& =& \frac{1}{n}{\log }_{a}x\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Някои връзки, които следват директно от определението на логаритъма:

$$\begin{array}{rcl}{\log }_{a}1& =& 0(a^0=1)\\ {\log }_{a}a& =& 1(a^1=a)\\ a^{{\log }_{a}x}& =& {\log }_a{a}^x=x\end{array}$$

Как с помощта на натуралния логаритъм да изразим друг логаритъм

Понякога се случва например на калкулатора да нямаме на разположение логаритъм при произволна основа, а само натурален и десетичен. Какво да правиш, ако трябва да пресметнеш логаритъм при друга основа? Съществува формула, която ще ти помогне. В сила е, че:

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

Ако за стойността на b изберем числото на Ойлер, получаваме формулата:

$${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$$

В първия раздел трябваше да пресметнем логаритъма от числото 8 при основа 2. Това можем да го пресметнем с помощта на натурален логаритъм така:

$${\log }_{2}8=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3$$

Пресмятането пак можем да го проверим в Google. Не е нужно обаче да използваш натурален логаритъм, можеш да използваш спокойно и десетичен, формулата го позволява. Така че също така е в сила:

$${\log }_{2}8=\frac{\lg 8}{\lg 2}=3$$

(Не забравяй, че lg означава логаритъм при основа a = 10.) Отново проверка в Google.

Калкулатор

Ако трябва да пресметнеш логаритъм, можеш да използваш нашия калкулатор за логаритми 🧮.