Как да построим триъгълник

Триъгълникът е многоъгълник, който има точно три страни. Означаваме ги с малки букви, обикновено a, b, c. Триъгълникът има и три върха, които означаваме с главни букви, обикновено A, B, C. Страната a тогава съответства на отсечката BC, страната b – на отсечката AC, а страната c – на отсечката AB. Страната a е винаги срещу върха A, а за останалите страни е аналогично.

Знаем трите страни

Ако знаем дължините на трите страни, построяването на триъгълника е съвсем лесно. Избираме една от страните, например AB, и я чертаем като обикновена отсечка. После трябва да намерим къде е третият връх. Това става лесно: вземаме пергел, забождаме го в точката B и описваме окръжност с радиус, равен на дължината на страната BC, да речем пет сантиметра. Така намираме къде би могла да се намира точката C, за да е на разстояние точно пет сантиметра от точката B. След това правим същото със страната AC и точката A. Сега имаме две окръжности, а пресечната им точка е точката, която е на зададеното разстояние от върха A и на зададеното разстояние от точката B.

Знаем две страни и височина

Всяка страна на триъгълника има своя височина, която се определя като перпендикуляр от срещулежащия връх към дадената страна. Ако този перпендикуляр не пресича самата страна, трябва да продължим страната дотам, където се пресича с перпендикуляра. Основното свойство на височината е, че е перпендикулярна на страната, към която е прекарана. Това често се използва в числови задачи, защото можем да приложим Питагоровата теорема. Височината към страната c обикновено се означава с малката буква h и долен индекс – означението на страната, към която е височината. В нашия случай това е h_c. Основата на височината (пресечната точка на страната с перпендикуляра) се означава подобно, само че вместо малкото h пишем главна H: H_c.

Височината прекарахме от върха C. Другата ѝ крайна точка лежи на срещуположната страна AB (т.е. страната c), а отсечката CH_c е перпендикулярна на страната c. Точката H_c се нарича основа на височината, а страната c наричаме основа на триъгълника. Основата на височината обикновено означаваме с буквата H и долен индекс – буквата на върха, от който излиза височината. В този случай това е върхът C.

Височината се построява доста лесно: вземаш чертожен триъгълник или линийка и прекарваш перпендикуляр към страната c така, че да минава точно през точката C. Това е всичко.

Височина можем да прекараме от всеки връх на триъгълника. Всички височини се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. Ортоцентърът може да лежи във вътрешността на триъгълника, но може и да не лежи. В случая на остроъгълен триъгълник ортоцентърът лежи във вътрешността на триъгълника.

Знаем две страни и медиана

Освен височини всеки триъгълник има и три медиани. Медианата е отсечка, която свързва връх със средата на срещуположната страна. Трите медиани се пресичат в една точка, която се нарича медицентър. Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2:1 – частта от върха до медицентъра е два пъти по-дълга от частта от медицентъра до страната. Медианите се означават с малката буква m и долен индекс – страната, към която са прекарани. Медицентърът обикновено се означава с една главна буква G.

Ако знаеш две страни и медианата към една от тези две страни, триъгълникът се построява много лесно. Започваш отново с построяването на страната AB и после намираш къде лежи точката C, като построиш две окръжности: първата с център в точката B (или A, ако знаеш дължината AC), а втората с център в средата на страната AB. Точката, в която окръжностите се пресичат, е търсената точка C. Построяването е същото като при трите страни, само че вместо триъгълника ABC първо построяваш триъгълника M_cBC, от който намираш търсения връх C.

Знаем две страни и друга медиана

Първо разгледай чертежа как приблизително трябва да изглежда:

В червено са отбелязани известните елементи и по тях трябва да построим целия триъгълник. Действаме така: допълваме този триъгълник до четириъгълник и по четириъгълника дочертаваме останалото. Следващата фигура го обяснява ясно (напомням, че дължината BD е равна на удвоената дължина на m_b).

Този четириъгълник се построява лесно. Първо построяваме триъгълника ABD. Дължината на страната AB знаем, дължината на страната BD е 2m_b, а дължината на AD е същата като дължината на BC. Точката C намираме или като намерим точката M_b, която е средата на отсечката BD, после построим лъча AM_b и дължината AC е 2AM_b. Втората възможност е да построим права, успоредна на страната AB, като точката C лежи на тази права и е на разстояние |AB| от точката D.