Ъгъл

Ако имаш някакъв ъгъл и искаш да го копираш на друго място, можеш да използваш метода за пренасяне на ъгли.

Какво е ъгъл

Определението за ъгъл не е съвсем просто и съществуват различни варианти. За нашите нужди обаче би могъл да послужи следният: ъгълът е част от равнината, ограничена от два лъча с общо начало. Важното в това определение е, че ъгъл не са само двете рамена, а цялата област, цялата част от равнината, която двете рамена обхващат. Вж. следващата фигура:

Предишната фигура обаче не беше съвсем точна, защото не уточнихме кой ъгъл имаме предвид. На пръв поглед наистина можем да си представим под ъгъл ABC споменатата област, но също така можем да си представим и другата част от равнината:

Затова при записването на ъглите трябва да различаваме дали имаме предвид изпъкнал ъгъл (този, който е по-малък от 180°), или неизпъкнал ъгъл (по-голям от 180°). Неизпъкналия ъгъл можем да наричаме и вдлъбнат ъгъл. Това може да се записва например с помощта на ориентиран ъгъл.

Ъгълът може да има положителна или отрицателна ориентация. При положителната ориентация се движим обратно на часовниковата стрелка, а при отрицателната – по посока на часовниковата стрелка. Така при записването на ъгъл ABC първо се споменава лъчът BA, а след него лъчът BC. В положителна посока гледаме към лъча BA и продължаваме обратно на часовниковата стрелка. В нашия пример по-горе щеше да се получи първата фигура – изпъкнал ъгъл. Ако изберем отрицателна посока, щяхме да получим неизпъкнал ъгъл, т.е. втората фигура. По подразбиране се работи с положителна посока и в тази статия записите са в положителен смисъл.

Ъгълът се състои от две рамена, които го ограничават, от връх, от който излизат лъчите, и от областта, която рамената заграждат. Ако имаме ъгъл ABC, рамената му са BA и BC, а върхът е B.

Мярка на ъгъл

Както можем да измерим дължината на отсечка, можем да измерим и ъгъл. Тя се измерва или в обичайната градусна мярка, която със сигурност познаваш, или в радианна мярка. Градусната мярка е проста: 90° е прав ъгъл (например всеки от вътрешните ъгли на квадрата е 90°), 180° е развит ъгъл (образуват го например два противоположни лъча), а 360° е пълен ъгъл (образуват го лъчи, които лежат един върху друг – такъв ъгъл е образуван от цялата околна равнина). Градусът се дели още на минути (означават се с ′) и секунди (означават се с ″). Един градус има 60 минути, а една минута има шестдесет секунди. 1° = 60′ и 1′ = 60″.

Фигури на отделните ъгли:

Радианната мярка е по-трудна за представяне, защото в нея се работи с радиани, които са безразмерни. Колко е един радиан и други негови свойства вече са описани в статията за тригонометричните функции, затова няма да се повтарям.

По големина ъглите можем да разделим още на остър ъгъл, който е по-малък от 90°, и тъп ъгъл – той е между 90° и 180°. Те са нещо като подмножество на изпъкналите ъгли, които показахме по-горе. По-голям от 180° е неизпъкналият ъгъл, който вече не се дели допълнително.

Двойки ъгли

Някои специфични двойки ъгли имат различни свойства, които е добре да знаеш.

• Връхни ъгли са ъгли, които имат общ връх, а рамената им са противоположни лъчи. Връхните ъгли са винаги еднакви, имат една и съща мярка.

• Съседни ъгли са ъгли, които имат едно общо рамо, а другите им рамена са противоположни лъчи. Сборът на съседните ъгли е винаги равен на 180°, т.е. на развития ъгъл.

• Съответни ъгли са ъгли, чиито първи рамена са успоредни, а вторите лежат на една права. Трябва също така ъглите да имат една и съща ориентация. Съответните ъгли са еднакви.

Съществуват и други видове ъгли, но те са само положения, които могат да се изведат от тези три, описани по-горе.

Действия с ъгли

С ъглите можем да извършваме някои елементарни действия. Най-основното е събирането. В числово отношение почти няма как да сгрешиш – просто събираш мерките на ъглите. Ако ъгълът е по-голям от 360°, обикновено се преобразува в по-прост вид, някъде в интервала 0° − 360°. Просто сякаш работиш в тристаишестдесетична бройна система. По подобен начин, ако в задачата има минути или секунди, трябва да смяташ в шестдесетична система (като при обикновения часовник).

Ето един пример за всеки случай. Събери ъглите α = 183° 51′ и β = 222° 24′. Първо пресмятаме минутите: 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (действието е просто – делиш 75 на шестдесет. Резултатът дава броя на градусите, а остатъкът – броя на оставащите минути). Сега пресмятаме градусите: 183° + 222° = 405°. Към този междинен резултат прибавяме предишния: 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Сега ще намаляваме този ъгъл с 360, докато попадне в интервала между 0 и 360. Намаляваме, защото ако обиколим ъгъл с мярка 360°, отново сме в началото, а ъгъл с мярка 361° ще изглежда на хартията същото като ъгъл с мярка 1°. Стигаме до това пресмятане: 406° 15′ = 46° 15′.

• Уикипедия