Обединение, сечение, разлика и допълнение на множества

Между множествата можем да извършваме различни операции. Най-основните са обединение, сечение, разлика и допълнение.

Обединение на множества

Обединението на множества означаваме със символа ∪, т.е. обединението на множествата A и B означаваме по общоприетия начин: A ∪ B. При обединението на множествата A и B се получава ново множество, което съдържа всички елементи на множеството A и също всички елементи на множеството B. Определение:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Примерна задача: нека имаме две множества A = {1; 3; 5; 7} и B = {2; 4; 6}. При обединението се получава множеството: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Полученото множество съдържа елементите на двете множества.

Друг пример: A = {1; 2; 3} и B = {2; 3; 4}. При обединението получаваме: A ∪ B = {1; 2; 3; 4}. Елементите 2 и 3 няма да са в полученото множество по два пъти, защото едно множество не съдържа един и същ елемент повече от веднъж.

Други свойства:

• A ∪ A = A: ако обединим две еднакви множества, отново получаваме същото множество.
• A ∪ B = B ∪ A: обединението е комутативно, редът няма значение.
• A ∪ ∅ = A: празното множество не съдържа нито един елемент, така че няма какво да се обединява.

Сечение на множества

При сечението на две множества A и B се получава ново множество, което съдържа елементите, които двете множества имат общи. По-точно, новото множество съдържа елементите, които принадлежат и на A, и на B. Сечението означаваме със символа ∩. Определение:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Пример: A = {1; 3; 5; 7; 9} и B = {4; 5; 6; 7}. Сечението е равно на A ∩ B = {5; 7}. Друг пример: A = {a, b, c, d, e} и B = {f, g, h, i, j}. Сечението е равно на: A ∩ B = ∅. Тези множества нямат нито един общ елемент, така че сечението е празното множество.

Други свойства:

• A ∩ A = A: сечението на две еднакви множества отново е същото множество.
• A ∩ B = B ∩ A: сечението е комутативно, редът няма значение.
• A ∩ ∅ = ∅: празното множество не съдържа нито един елемент, така че със сигурност няма общ елемент с множеството A.

Разлика на множества

Разликата на множества означаваме със стандартния знак за минус − или по-добре с такъв наклонен минус ∖. Под разлика на две множества A и B разбираме множество, което съдържа всички елементи на A, но не съдържа нито един елемент на B. Накратко, поглеждаш кои елементи първото множество има общи с второто, и после ги премахваш. Определение:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Пример: A = {1; 2; 3; 4; 5} и B = {4; 5; 6; 7; 8}. Тогава разликата е равна на A ∖ B = {1; 2; 3}. Това са елементите, които ни остават, когато от множеството A премахнем всички елементи, които са в множеството B. Друг пример: A = {a, b, d, e}. Разликата A ∖ A = ∅.

Други свойства:

• A ∖ A = ∅: както при изваждане на две еднакви числа получаваме нула (напр. 5 − 5 = 0), така и при изваждане на две еднакви множества получаваме празното множество.
• A ∖ ∅ = A: празното множество не съдържа нито един елемент, така че от множеството A не можем да махнем нито един елемент.

Допълнение на множество

Допълнението на множеството A се означава по различни начини, но може би най-често с щрих A' или с хоризонтална черта отгоре: $\bar{A}$. За простота ще използвам щриха. За да пресметнем допълнението на множеството A, трябва да знаем в кое множество го пресмятаме. Допълнението на множество представлява всички елементи, които не са в множеството A, т.е. то е нещо като противоположност на множеството A.

Ако за основно (универсално) множество имаме M = {1; 2; 3; …; 9; 10}, то допълнението на множеството A = {2; 4; 6; 8; 10} в M е множеството A' = {1; 3; 5; 7; 9}. То съдържа всички елементи на M, които не са в A. Можем да кажем, че A' в M е равно на M ∖ A.

Ако за основно множество вземем целите числа, то допълнението на множеството на четните числа ще бъдат нечетните числа. Допълнението на множеството A = {1; 2; 3; 4} ще бъде множеството A' = {…; −3; −2; −1; 0; 5; 6; 7; …}.

За допълнението е изпълнено, че ако го приложим два пъти, получаваме отново първоначалното множество. Например в целите числа: допълнението на четните числа са нечетните числа. А допълнението на нечетните числа са отново четните. Така че A = A'' (допълнение на допълнението на A).