Dreieck konstruieren

Ein Dreieck ist ein Vieleck, das genau drei Seiten hat. Diese Seiten bezeichnen wir mit kleinen Buchstaben, klassisch a, b, c. Ein Dreieck hat auch drei Eckpunkte, die wir mit großen Buchstaben bezeichnen, klassisch A, B, C. Die Seite a entspricht dann der Strecke BC, die Seite b der Strecke AC und die Seite c der Strecke AB. Die Seite a liegt immer dem Eckpunkt A gegenüber, entsprechend bei den anderen Seiten.

Wir kennen alle drei Seiten

Wenn wir die Längen aller drei Seiten kennen, ist das Konstruieren des Dreiecks ein Kinderspiel. Wir wählen eine der Seiten, zum Beispiel AB, und zeichnen sie als gewöhnliche Strecke. Dann müssen wir herausfinden, wo der dritte Punkt liegt. Das geht einfach: Man nimmt den Zirkel, sticht in den Punkt B ein und zeichnet einen Kreis, dessen Radius gleich der Länge der Seite BC ist, zum Beispiel fünf Zentimeter. So erfahren wir, wo überall der Punkt C liegen könnte, damit er vom Punkt B genau fünf Zentimeter entfernt ist. Danach machen wir dasselbe mit der Seite AC und dem Punkt A. Jetzt haben wir zwei Kreise, und ihr Schnittpunkt ist der Punkt, der vom Eckpunkt A die vorgegebene Anzahl von Zentimetern entfernt ist und vom Punkt B ebenfalls.

Wir kennen zwei Seiten und die Höhe

Jede Seite des Dreiecks hat ihre Höhe, die als Senkrechte vom gegenüberliegenden Eckpunkt auf die jeweilige Seite definiert ist. Würde die Senkrechte die Seite nicht direkt schneiden, müssen wir die Seite verlängern, bis sie sich mit der Senkrechten schneidet. Die Grundeigenschaft der Höhe ist also, dass sie auf der Seite, zu der sie gehört, senkrecht steht. Das nutzt man oft bei Rechenaufgaben, denn wir können den Satz des Pythagoras verwenden. Die Höhe auf die Seite c schreibt man üblicherweise mit dem kleinen Buchstaben h und der Bezeichnung der Seite, zu der die Höhe gehört, im unteren Index. In unserem Fall also h_c. Der Fußpunkt der Senkrechten (der Schnittpunkt der Seite mit der Senkrechten) wird ähnlich bezeichnet, nur schreiben wir statt des kleinen h ein großes P: P_c.

Die Höhe haben wir vom Eckpunkt C aus gezogen. Der zweite Punkt liegt auf der gegenüberliegenden Seite AB (also der Seite c), und die Strecke CP_c steht senkrecht auf der Seite c. Der Punkt P_c heißt Höhenfußpunkt; die Seite c nennen wir Grundseite. Den Fußpunkt benennen wir üblicherweise nach dem Buchstaben P mit einem unteren Index, der den Eckpunkt angibt, von dem die Höhe ausgeht. In diesem Fall ist es der Eckpunkt C.

Die Höhe lässt sich recht leicht zeichnen: Du nimmst ein Lineal und ziehst von der Seite c aus eine Senkrechte so, dass sie genau durch den Punkt C verläuft. Das ist alles.

Die Höhe können wir von jedem Eckpunkt des Dreiecks aus ziehen. Alle Höhen schneiden sich dann in einem Punkt, der Höhenschnittpunkt heißt. Der Höhenschnittpunkt kann im Inneren des Dreiecks liegen, muss aber nicht. Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt im Inneren des Dreiecks.

Wir kennen zwei Seiten und eine Seitenhalbierende

Außer der Höhe hat jedes Dreieck noch drei Seitenhalbierende. Eine Seitenhalbierende ist eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Alle drei Seitenhalbierenden schneiden sich in einem einzigen Punkt, der Schwerpunkt heißt. Dieser Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden immer im Verhältnis 2 : 1 – der Teil der Seitenhalbierenden vor dem Schwerpunkt ist entweder doppelt so lang oder halb so lang wie der andere Teil hinter dem Schwerpunkt. Seitenhalbierende bezeichnet man mit dem kleinen Buchstaben s und dem unteren Index der Seite, zu der sie gehört. Der Schwerpunkt wird dann üblicherweise mit einem einzigen großen Buchstaben S bezeichnet.

Wenn du zwei Seiten und die Seitenhalbierende zu einer dieser beiden Seiten kennst, kannst du das Dreieck sehr leicht konstruieren. Du beginnst wieder mit dem Zeichnen der Seite AB und findest dann heraus, wo der Punkt C liegt, indem du zwei Kreise zeichnest, den ersten mit dem Mittelpunkt im Punkt B (oder A, wenn du die Länge AC kennst) und den zweiten mit dem Mittelpunkt im Mittelpunkt der Seite AB. Der Punkt, in dem sich die Kreise schneiden, ist der gesuchte Punkt C. Das Vorgehen ist dasselbe wie im ersten Fall, nur dass du statt des Dreiecks ABC zuerst das Dreieck M_cBC zeichnest, aus dem du den gesuchten Eckpunkt C erhältst.

Wir kennen zwei Seiten und eine andere Seitenhalbierende

Sieh dir zuerst die Skizze an, wie es ungefähr aussehen sollte:

Die rot markierten Angaben kennen wir, und danach sollen wir das ganze Dreieck konstruieren. Das Vorgehen ist folgendes – wir ergänzen dieses Dreieck zu einem Viereck und zeichnen anhand des Vierecks den Rest. Das erklärt die folgende Abbildung anschaulich (ich erinnere daran, dass die Länge BD gleich dem Doppelten der Länge s_b ist).

Dieses Viereck konstruieren wir einfach. Zuerst konstruieren wir das Dreieck ABD. Die Länge der Seite AB kennen wir, die Länge der Seite BD ist 2s_b und die Länge AD ist gleich der Länge BC. Den Punkt C finden wir entweder so, dass wir den Punkt M_b suchen, der der Mittelpunkt der Strecke BD ist, und dann einfach den Strahl AM_b zeichnen, und die Länge AC ist die Länge 2AM_b. Die zweite Möglichkeit ist, eine Gerade parallel zur Seite AB zu zeichnen; der Punkt C liegt dann auf dieser Geraden und ist vom Punkt D um |AB| entfernt.