Winkel

Wenn du einen Winkel hast und ihn an einer anderen Stelle kopieren möchtest, kannst du die Methode des Winkelübertragens verwenden.

Was ist ein Winkel

Die Definition eines Winkels ist nicht ganz einfach, und es gibt verschiedene Varianten. Für unsere Zwecke dürfte aber diese Variante genügen: Ein Winkel ist der Teil der Ebene, der von zwei Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird. Wichtig an dieser Definition ist, dass ein Winkel nicht nur diese beiden Schenkel sind, sondern die ganze Fläche, die ganze Ebene, die die beiden Schenkel einschließen. Siehe die folgende Abbildung:

Die vorherige Abbildung war allerdings nicht ganz korrekt, denn wir haben nicht festgelegt, welchen Winkel wir meinen. Auf den ersten Blick könnten wir uns unter dem Winkel ABC zwar die erwähnte Fläche vorstellen, genauso gut könnten wir uns aber den anderen Teil der Ebene vorstellen:

Deshalb sollten wir beim Aufschreiben von Winkeln unterscheiden, ob wir einen konvexen Winkel (einen, der weniger als 180° hat) oder einen nichtkonvexen Winkel (mehr als 180°) meinen. Einen nichtkonvexen Winkel können wir auch konkaven (überstumpfen) Winkel nennen. Das lässt sich zum Beispiel mithilfe eines orientierten Winkels ausdrücken.

Ein Winkel kann entweder positive oder negative Orientierung haben. Bei positiver Orientierung gehen wir gegen den Uhrzeigersinn, bei negativer im Uhrzeigersinn. Beim Schreiben des Winkels ABC wird also als erster der Strahl BA und als zweiter der Strahl BC genannt. In positiver Richtung schauen wir auf den Strahl BA und gehen von dort gegen den Uhrzeigersinn weiter. In unserem Beispiel oben käme die erste Abbildung heraus, der konvexe Winkel. Wenn wir die negative Richtung festlegen würden, bekämen wir den nichtkonvexen Winkel, also die zweite Abbildung. Standardmäßig rechnet man mit der positiven Richtung, auch in diesem Artikel werden die Schreibweisen im positiven Sinn verwendet.

Ein Winkel besteht also aus zwei Schenkeln, die den Winkel begrenzen, aus dem Scheitel, von dem diese Strahlen ausgehen, und aus der Fläche, die die Schenkel des Winkels abgrenzen. Wenn wir den Winkel ABC haben, sind die Schenkel des Winkels BA und BC, und der Scheitel ist B.

Winkelgröße

So wie wir die Länge einer Strecke messen können, können wir auch die Größe eines Winkels messen. Sie wird entweder im klassischen Gradmaß gemessen, das du sicher kennst, oder im Bogenmaß. Das Gradmaß ist einfach: 90° ist ein rechter Winkel (zum Beispiel haben die Innenwinkel eines Quadrats jeweils 90°), 180° ist ein gestreckter Winkel (ihn schließen zum Beispiel entgegengesetzte Strahlen ein) und 360° ist ein Vollwinkel (ihn schließen Strahlen ein, die aufeinander liegen – ein solcher Winkel wird von der ganzen umgebenden Ebene gebildet). Ein Grad wird weiter in Minuten (Zeichen ′) und Sekunden (Zeichen ″) unterteilt. Ein Grad hat 60 Minuten und eine Minute hat sechzig Sekunden. 1° = 60′ und 1′ = 60″.

Abbildungen der einzelnen Winkel:

Das Bogenmaß ist etwas schwerer vorstellbar, weil man hier mit Radiant rechnet, der dimensionslos ist. Die Größe eines Radiants und weitere Eigenschaften habe ich aber bereits bei den Winkelfunktionen beschrieben, deshalb werde ich mich nicht wiederholen.

Winkel können wir nach ihrer Größe weiter in spitze Winkel einteilen, die weniger als 90° haben, und in stumpfe Winkel, die zwischen 90° und 180° haben. Es handelt sich sozusagen um eine Teilmenge der konvexen Winkel, die ich oben gezeigt habe. Mehr als 180° hat der nichtkonvexe Winkel, der nicht weiter unterteilt wird.

Winkelpaare

Einige besondere Winkelpaare haben verschiedene Eigenschaften, die gut zu wissen sind.

• Scheitelwinkel sind Winkel, die einen gemeinsamen Scheitel haben und deren Schenkel entgegengesetzte Strahlen bilden. Scheitelwinkel sind immer gleich groß, sie haben dieselbe Größe.

• Nebenwinkel sind Winkel, die einen Schenkel gemeinsam haben, während die anderen Schenkel entgegengesetzte Strahlen sind. Die Summe von Nebenwinkeln ist immer gleich 180°, dem gestreckten Winkel.

• Stufenwinkel sind Winkel, deren erste Schenkel parallel sind und deren zweite Schenkel auf einer Geraden liegen. Außerdem müssen die Winkel dieselbe Orientierung haben. Stufenwinkel sind gleich groß.

Es gibt noch weitere Arten von Winkeln, aber das sind nur Lagen, die sich aus diesen drei oben beschriebenen Anordnungen ableiten lassen.

Operationen mit Winkeln

Mit Winkeln können wir gewisse elementare Operationen durchführen. Die grundlegendste ist die Addition. Numerisch kann man dabei kaum etwas falsch machen, man addiert ganz normal die Größen der Winkel. Wenn ein Winkel mehr als 360° hat, wird er üblicherweise in eine einfachere Form umgewandelt, irgendwo im Intervall 0° − 360°. Kurz gesagt, als würdest du in einem Dreihundertsechzigersystem rechnen. Ähnlich musst du, wenn in einer Aufgabe Minuten oder Sekunden vorkommen, im Sechzigersystem rechnen (wie bei einer normalen Uhr).

Zur Sicherheit also ein Beispiel. Addiere diese Winkel: α = 183° 51′ und β = 222° 24′. Zuerst berechnen wir die Minuten 51′ + 24′ = 75′ = 1° 15′ (das Vorgehen ist einfach, du teilst 75 durch sechzig. Das Ergebnis gibt die Anzahl der Grad an und der Rest die Anzahl der übrigen Minuten). Jetzt berechnen wir die Grad: 183° + 222° = 405°. Zu diesem Teilergebnis addieren wir das vorherige Ergebnis 405° + 1° 15′ = 406° 15′. Nun werden wir diesen Winkel so lange um 360 verringern, bis er im Intervall zwischen 0 und 360 liegt. Wir verringern deshalb, weil wir, wenn wir einen Winkel von 360° umfahren, wieder am Anfang sind; ein Winkel von 361° hat auf dem Papier dieselbe Größe wie ein Winkel von 1°. So kommen wir zu dieser Rechnung: 406° 15′ = 46° 15′.

• Wikipedia