Definitionsmenge einer Funktion

Die Definitionsmenge einer Funktion besteht aus allen zulässigen Werten, die wir in der Funktion f(x) für das Argument x einsetzen können, sodass die Funktion sinnvoll ist.

Was ist die Definitionsmenge einer Funktion?

Ein einfaches Beispiel ist die Funktion f(x) = 1/x. Die Definitionsmenge ist die Menge aller zulässigen Werte, die wir in die Funktion 1/x einsetzen können, sodass wir einen gültigen Term erhalten.

Um zu wissen, was ein „gültiger Term“ ist, müssen wir die Eigenschaften von Funktionen und Operationen kennen. In unserer Funktion wird durch die Variable x geteilt; die Variable x steht im Nenner des Bruchs. Durch welche Werte können wir teilen? Durch alle außer null. Durch null können wir nicht teilen, genauso darf im Nenner eines Bruchs keine Null stehen. Eine andere Einschränkung hat die Division nicht.

Deshalb können wir für x jede reelle Zahl außer null einsetzen. Die Definitionsmenge ist also: D_f = ℝ ∖ {0}. Die Definitionsmenge schreiben wir üblicherweise mit dem Buchstaben D und tiefgestellt die Funktion, deren Definitionsmenge wir berechnen.

Wir haben jetzt die größtmögliche Definitionsmenge berechnet. Weil wir die Definitionsmenge aber als die Menge der Werte definiert haben, die wir für x einsetzen können, ist auch jede Teilmenge der Definitionsmenge wieder eine Definitionsmenge. Manchmal ist es nützlich, die Funktion nur auf bestimmte x einzuschränken. Zum Beispiel beschränken wir uns bei Folgen nur auf die natürlichen Zahlen, in der Trigonometrie rechnet man oft nur mit dem Intervall [0; 2π].

Wenn aber in einer Aufgabe die Definitionsmenge einer Funktion berechnet werden soll, nimmt man üblicherweise an, dass du die größtmögliche Definitionsmenge bestimmen sollst.

Die Definitionsmenge können wir auch am Graphen der Funktion ablesen. Als Beispiel nehmen wir den Graphen der vorherigen Funktion f(x) = 1/x.

Wenn du den Graphen auf die x-Achse projizierst, erhältst du die Definitionsmenge. Wenn x kein Element der Definitionsmenge ist, dann schneidet die senkrechte Gerade zur x-Achse durch diesen Punkt keinen Punkt des Graphen. Wir sehen, dass diese Bedingung nur die Null erfüllt – über ihr und unter ihr liegt kein Punkt des Graphen der Funktion. Bei allen anderen Zahlen liegt einer.

Berechnung der Definitionsmenge

Um die Definitionsmenge einer verketteten Funktion zu berechnen, musst du die Definitionsmengen aller Funktionen kennen, aus denen die verkettete Funktion besteht. Anders geht es nicht. Wenn ich dir aufgebe, die Definitionsmenge der Funktion f(x) = eins(x) + zwei(x) zu berechnen, kommst du nicht weiter, denn du weißt nicht, wie die Funktionen eins und zwei definiert sind. Wir zeigen die Definitionsmengen einiger elementarer Funktionen:

• Der Logarithmus hat D_f = ]0; +∞[.
• Die Wurzel hat D_f = [0; +∞[.
• Der Tangens hat D_f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Der Kotangens hat D_f = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Die Exponentialfunktion hat D_f = ℝ.
• Lineare Funktionen und quadratische Funktionen haben D_f = ℝ.

Wenn nur eine einzige Funktion gegeben ist, ist es ganz einfach. Wir stellen einfach fest, welche Definitionsmenge die Funktion hat, schauen uns das Argument an und setzen es passend in die Gleichung oder Ungleichung ein. Also ein Beispiel – bestimme die Definitionsmenge der Funktion lg(3x + 2). Das Argument des Logarithmus muss positiv sein, deshalb muss 3x + 2 > 0 gelten. Das ist eine lineare Ungleichung, die wir einfach lösen:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Die Definitionsmenge besteht aus allen x, die diese Ungleichung erfüllen, also D_f = ]−2/3; +∞[.

Berechne die Definitionsmenge von $\sqrt{2x+8}$.

Unter der Wurzel darf keine negative Zahl stehen, also lösen wir die Ungleichung 2x + 8 ≥ 0 und erhalten das Ergebnis:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Also D_f = [−4; +∞[.

Berechne die Definitionsmenge von 1/x².

Im Nenner darf keine Null stehen, also lösen wir die Gleichung x² ≠ 0. Das gilt, wenn x ≠ 0 ist, also D_f = ℝ ∖ {0}.

Zerlegung verketteter Funktionen

Bei verketteten Funktionen ist die Situation etwas komplizierter, weil wir mehrere Funktionen berücksichtigen müssen, die sich gegenseitig beeinflussen und die Definitionsmenge nach und nach verkleinern. Betrachten wir zum Beispiel diese Funktion:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Hier müssen zwei Bedingungen gelten. Der Term unter der Wurzel muss größer oder gleich null sein, er darf nicht negativ sein. Also x ≥ 0. Die Wurzel steht aber im Nenner des Bruchs, deshalb darf die Wurzel nicht null ergeben, sonst hätte der Bruch wieder keinen Sinn. Die vorherige Aussage verschärfen wir also zu x > 0.

Ähnlich gehen wir auch bei weiteren Beispielen vor. Wichtig ist aber, die Reihenfolge der verschachtelten Funktionen zu bestimmen – wir müssen herausfinden, welche Funktion die innere und welche die äußere ist. Im vorherigen Beispiel war es offensichtlich – die innere Funktion war die Wurzel und die äußere der Bruch. Wenn wir den Term von Hand ausrechnen wollten, würden wir zuerst aus dem Argument x die Wurzel ziehen und erst danach den Bruch berechnen. Das ist eine ziemlich gute Faustregel – die innerste Funktion ist diejenige, mit der du zu rechnen anfangen würdest, wenn du es von Hand rechnen würdest. Ein weiteres Beispiel:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Wir können jetzt den umgekehrten Ansatz wählen. Wir suchen die äußeren Funktionen. Die äußere Funktion „umhüllt“ die inneren Funktionen. Hier umhüllt offensichtlich die fünfte Wurzel alle übrigen Funktionen. Weiter umhüllt die dritte Potenz das Ergebnis des Logarithmus, der Logarithmus umhüllt den Tangens und schließlich umhüllt der Tangens die Variable x. Einfach. Mit dem vorherigen Ansatz gehen wir so vor: Wenn wir den Wert von x kennen, wenden wir darauf als Erstes den Tangens an. Das ist also die innerste Funktion. Auf dieses Ergebnis wenden wir den Logarithmus an – das ist also die zweitinnerste Funktion. Auf dessen Ergebnis wenden wir wiederum die Potenz an und am Ende ziehen wir daraus die Wurzel.

Zerlege die verkettete Funktion:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Wir beginnen mit der äußeren Funktion. Das ist der Sinus. Als Nächstes folgen der Bruch, dann der Logarithmus, dann die Exponentialfunktion (stell dir diese Substitution vor: 10^a) und schließlich die lineare Funktion 2x + 3.

Zerlege die verkettete Funktion:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Die äußere Funktion ist die Exponentialfunktion 2^a. Danach folgt der Bruch, im Nenner die Wurzel und schließlich die lineare Funktion 3x.

Definitionsmenge verketteter Funktionen

Wenn du Funktionen in äußere und innere zerlegen kannst, ist es für dich kein Problem mehr, die Definitionsmenge zu bestimmen. Wir zeigen es gleich an einem Beispiel:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Wir beginnen mit dem Bruch. Bei ihm muss gelten, dass der Nenner ungleich null ist. Wir schreiben es auf:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Aus den Eigenschaften der Sinusfunktion wissen wir, dass sie den Wert 1 an der Stelle x = π/2 annimmt. Weil sie eine periodische Funktion ist, erhalten wir die Menge M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Das ist die Menge der Werte, für die der Nenner null ergibt. Diese x können wir in unsere Funktion nicht einsetzen.

Das ist aber noch nicht alles, wir müssen uns noch die Definitionsmenge der Sinusfunktion ansehen. Diese ist zum Glück gleich ℝ, schränkt uns also nicht ein. Die Einschränkung ergibt sich nur durch den Nenner des Bruchs. Also D_f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.