Εξίσωση πρώτου βαθμού

Εξίσωση πρώτου βαθμού είναι μια εξίσωση που μπορούμε να τη φέρουμε στη μορφή α x + β = 0, όπου α ≠ 0. Ένα συγκεκριμένο παράδειγμα θα μπορούσε να είναι το εξής: 2x + 4 = 0. Λύση αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός −2, κάτι που βγαίνει αρκετά λογικά με λίγη σκέψη. Αν όμως οι αριθμοί ήταν λίγο μεγαλύτεροι, αυτό το συμπέρασμα δεν θα ήταν πια τόσο απλό, οπότε χρειαζόμαστε μια πιο συγκεκριμένη διαδικασία.

Η γενική μορφή της εξίσωσης πρώτου βαθμού

Πιο συγκεκριμένα, πρόκειται για εξίσωση με έναν άγνωστο x, την οποία μπορούμε με ισοδύναμες μετατροπές να φέρουμε στη μορφή α x + β = 0, όπου α ≠ 0. Ο άγνωστος δεν είναι υψωμένος σε δύναμη, ούτε βρίσκεται κάτω από ρίζα κτλ. Οι εξισώσεις με άγνωστο στον παρονομαστή κλάσματος μπορούν να φτάσουν σε αυτή τη μορφή μόνο με την προϋπόθεση ότι ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν. Γι' αυτό τις λύνουμε ξεχωριστά, δες εξισώσεις πρώτου βαθμού με άγνωστο στον παρονομαστή. Δες παραδείγματα διαφόρων εξισώσεων πρώτου βαθμού:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Όπως βλέπεις, μια εξίσωση πρώτου βαθμού μπορεί να έχει πάρα πολλές μορφές. Για να τις λύνουμε εύκολα, πρέπει πρώτα να τις φέρουμε όλες σε μία μορφή, που την ονομάζουμε γενική μορφή:

$$\alpha x+\beta =0,$$

όπου x είναι ο άγνωστος και τα σύμβολα α και β είναι οποιοιδήποτε πραγματικοί αριθμοί, που τους λέμε συντελεστές της εξίσωσης. Ο αριθμός α δεν επιτρέπεται να είναι μηδέν, δηλαδή α ≠ 0. Τον όρο α x τον λέμε γραμμικό όρο και τον όρο β τον λέμε σταθερό όρο.

Στη λύση μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού δεν μπορούμε να κάνουμε χωρίς ισοδύναμες μετατροπές, δηλαδή μετατροπές που δεν αλλάζουν τη λύση της εξίσωσης. Χωρίς αυτές δεν λύνεται καμία πιο σύνθετη εξίσωση. Την εξίσωση μπορούμε να τη φέρουμε στη γενική μορφή είτε επεξεργαζόμενοι τις ίδιες τις παραστάσεις που εμφανίζονται σε αυτήν, είτε ακριβώς με ισοδύναμες μετατροπές εξισώσεων.

Ας γυρίσουμε στα παραπάνω παραδείγματα. Η πρώτη εξίσωση, 2x + 7 = 0, έχει ήδη τη γενική μορφή, οπότε βλέπουμε αμέσως τους συντελεστές α = 2 και β = 7. Στη δεύτερη εξίσωση, x − 2 = 74, δεν είναι τόσο εύκολο. Με μια ισοδύναμη μετατροπή προσθέτουμε και στα δύο μέλη τον αριθμό −74 (δηλαδή αφαιρούμε και από τα δύο μέλη τον αριθμό 74) και παίρνουμε x − 76 = 0. Αυτή έχει πια τη γενική μορφή, με συντελεστές α = 1 και β = −76.

Η τρίτη εξίσωση απέχει ακόμη πολύ από τη γενική μορφή, αλλά και μαζί της τα βγάζουμε πέρα. Πρώτα «φτιάχνουμε» μηδέν στο δεύτερο μέλος: προσθέτουμε και στα δύο μέλη την παράσταση 12x. Έτσι το δεύτερο μέλος μηδενίζεται, επειδή (−12x) + 12x = 0. Ολόκληρη η εξίσωση θα γίνει:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Τώρα μένει μόνο να απαλείψουμε τις παρενθέσεις και να κάνουμε αναγωγή των όρων με x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Αυτή η εξίσωση πρώτου βαθμού είναι στη γενική μορφή και οι συντελεστές της είναι α = −8 και β = 3.

Στην τελευταία εξίσωση πρέπει να απαλλαγούμε από τα κλάσματα. Γι' αυτό πολλαπλασιάζουμε ολόκληρη την εξίσωση με το 72, που διαιρείται με όλους τους παρονομαστές:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Τώρα απλοποιούμε τα κλάσματα:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Στο πρώτο μέλος προσθέτουμε, στο δεύτερο πολλαπλασιάζουμε:

$$39x=405x+72$$

Μένει το τελευταίο βήμα: αφαιρούμε και από τα δύο μέλη το 405x και το 72, και η εξίσωση είναι στη γενική μορφή:

$$-366x-72=0$$

Βρήκαμε λοιπόν τους συντελεστές α = −366 και β = −72.

Πώς λύνουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού

Όταν έχουμε την εξίσωση πρώτου βαθμού στη γενική μορφή, η λύση της είναι εύκολη. Ας το δούμε σε ένα παράδειγμα: 3x − 18 = 0. Από ποιον αριθμό πρέπει να αφαιρέσουμε το 18 για να πάρουμε μηδέν; Μα, φυσικά, από το 18. Άρα για να είναι η παράσταση 3x − 18 ίση με μηδέν, πρέπει η παράσταση 3x να είναι ίση με 18, οπότε παίρνουμε 18 − 18 = 0. Πότε θα είναι η παράσταση 3x ίση με 18; Ακριβώς όταν ισχύει x = 6, επειδή 3 · 6 = 18.

Πώς θα βγάλουμε από αυτό μια γενική διαδικασία; Πρώτα πρέπει να βρούμε με τι πρέπει να είναι ίσος ο γραμμικός όρος α x. Αυτό το βρίσκουμε μεταφέροντας τον σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος της εξίσωσης, δηλαδή προσθέτοντας στην εξίσωση το −β. Έτσι παίρνουμε την εξίσωση α x + β − β = −β, που είναι το ίδιο με α x = −β. Στο προηγούμενο παράδειγμα θα παίρναμε 3x − 18 + 18 = 18, δηλαδή 3x = 18. Μην ξεχνάς ότι ο αριθμός β ήταν ίσος με β = −18, οπότε όταν προσθέτουμε το −β, προσθέτουμε το −(−18) και αυτό είναι ίσο με +18.

Έχουμε την εξίσωση στη μορφή α x = −β. Πώς θα βρούμε απευθείας το x; Στο παράδειγμα ψάχναμε τον αριθμό x που, όταν τον πολλαπλασιάσουμε με το τρία, δίνει 18. Τι κάναμε στην πραγματικότητα; Διαιρέσαμε 18/3 = 6. Δηλαδή πήραμε την παράσταση του δεύτερου μέλους (−β) και τη διαιρέσαμε με την τιμή α, που στο παράδειγμα ήταν το τρία. Άρα από την α x = −β παίρνουμε

$$x=\frac{-\beta }{\alpha }=-\frac{\beta }{\alpha }$$

Ολόκληρη η διαδικασία εφαρμοσμένη στο πρώτο παράδειγμα μοιάζει ως εξής:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0/+18\\ 3x& =& 18/:3\\ x& =& 6\end{array}$$

Γεωμετρική σημασία

Αν φέρουμε την εξίσωση πρώτου βαθμού στη γενική μορφή, τότε στο πρώτο μέλος παίρνουμε μια γραμμική συνάρτηση. Η γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης είναι ευθεία. Επειδή η γενική μορφή της εξίσωσης πρώτου βαθμού είναι α x + β = 0, οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι όλα τα σημεία στα οποία η ευθεία (η γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης) τέμνει τον άξονα x (που είναι ταυτόχρονα η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 0, δηλαδή του δεύτερου μέλους).

Για παράδειγμα, βρήκαμε ότι η λύση της εξίσωσης 3x − 18 = 0 είναι x = 6. Τι σημαίνει αυτό; Ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης 3x − 18 τέμνει τον άξονα x στο σημείο x = 6.

Ας δοκιμάσουμε να λύσουμε γραφικά την εξίσωση 5x + 2 = 2x − 7. Πώς μπορούμε να προχωρήσουμε; Μπορούμε να φέρουμε την εξίσωση στη γενική μορφή, δηλαδή να προσθέσουμε −2x, οπότε παίρνουμε 3x + 2 = −7, και στη συνέχεια να προσθέσουμε 7: 3x + 9 = 0. Τώρα σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της γραμμικής συνάρτησης y = 3x + 9 και βρίσκουμε πότε τέμνει τον άξονα x.

Ο δεύτερος τρόπος είναι να μη μετατρέψουμε καθόλου την εξίσωση, αλλά να σχεδιάσουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και στα δύο μέλη της. Δηλαδή σχεδιάζουμε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = 5x + 2 και g(x) = 2x − 7.

Αυτές οι δύο ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο, που το ονομάσαμε A. Ποια είναι η συντεταγμένη x αυτού του σημείου A; Πάλι x = −3. Γραφική λύση της εξίσωσης 5x + 2 = 2x − 7 είναι λοιπόν η τετμημένη x του σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων του πρώτου και του δεύτερου μέλους.

Λυμένα παραδείγματα

Πρώτο παράδειγμα: Ας δοκιμάσουμε να λύσουμε την εξίσωση 7x − 14 = 0. Η κατάσταση είναι απλή, η εξίσωση είναι στη γενική μορφή, οπότε απλώς εφαρμόζουμε τη διαδικασία:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0/+14\\ 7x& =& 14/:7\\ x& =& 2\end{array}$$

Δεύτερο παράδειγμα: Λύσε την εξίσωση 2x + 10 = 0. Η εξίσωση είναι πάλι στη γενική μορφή, απλώς πρόσεξε ότι το β είναι θετικό και γι' αυτό μετά τη μετατροπή θα σου βγει αρνητικός αριθμός στο δεύτερο μέλος:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0/-10\\ 2x& =& -10/:2\\ x& =& -5\end{array}$$

Τρίτο παράδειγμα: Λύσε την εξίσωση 15 − 3x = 0. Η εξίσωση είναι σχεδόν στη γενική μορφή, χρειάζεται μόνο να βάλουμε τον άγνωστο x στην πρώτη θέση. Τότε η εξίσωση γίνεται −3x + 15 = 0. Πάλι πρόσεξε ότι εδώ έχουμε μείον μπροστά από τον γραμμικό όρο, κάτι που δεν είχαμε μέχρι τώρα. Οι μετατροπές όμως θα είναι ακριβώς οι ίδιες:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/:(-3)\\ x& =& 5\end{array}$$

Το παράδειγμα μπορούμε να το λύσουμε και λίγο διαφορετικά, με πιο μακρύ τρόπο. Αντί να διαιρέσουμε αμέσως την εξίσωση με τον αριθμό −3, μπορούμε πρώτα να την πολλαπλασιάσουμε με τον αριθμό −1, οπότε εξαφανίζονται και τα δύο μείον. Και μετά μπορούμε να τη διαιρέσουμε με το τρία:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0/-15\\ -3x& =& -15/\cdot (-1)\\ 3x& =& 15/:3\\ x& =& 5\end{array}$$

Τέταρτο παράδειγμα: Λύσε την εξίσωση πρώτου βαθμού

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Αυτή η εξίσωση είναι ήδη λίγο πιο δύσκολη, γιατί έχει κλάσματα. Πρώτα πρέπει να απαλλαγούμε από αυτά τα κλάσματα. Το καλύτερο είναι να πολλαπλασιάσουμε ολόκληρη την εξίσωση με το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των παρονομαστών. Έχουμε δύο παρονομαστές, το 4 και το 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι το 4. Αν δεν έχεις όρεξη να το υπολογίσεις, μπορείς να πολλαπλασιάσεις ολόκληρη την εξίσωση με το γινόμενο όλων των παρονομαστών, δηλαδή 4 · 2 = 8, αλλά αυτή δεν είναι η προτεινόμενη διαδικασία, γιατί θα δυσκολέψεις τη ζωή σου στο επόμενο βήμα. Αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση με το τέσσερα, απαλλασσόμαστε από τα κλάσματα απλοποιώντας τα διαδοχικά:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}/\cdot 4\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Τώρα φέρνουμε την εξίσωση στη γενική μορφή: x − 12 = 0 και από αυτή την εξίσωση βλέπουμε ήδη ότι x = 12.

Πέμπτο παράδειγμα / πρόβλημα: Έχουμε δύο αδέλφια, τον Δημήτρη και τον Κώστα. Ο Κώστας πήγε να δουλέψει αμέσως μετά το λύκειο, ενώ ο Δημήτρης πήγε ακόμα στο πανεπιστήμιο, όπου σπούδασε συνολικά πέντε χρόνια. Ο Κώστας έπαιρνε κάθε μήνα μισθό 1000 €. Παρόλο που ο Δημήτρης σπούδασε «ξαπλωστρολογία» με ειδίκευση στην ξάπλα σε ξαπλώστρα, κατάφερε να βρει δουλειά στο δημόσιο, όπου έπαιρνε 1400 € τον μήνα. Σε πόσο καιρό θα έχει κερδίσει ο Δημήτρης συνολικά τα ίδια χρήματα με τον Κώστα; Δηλαδή, για να το ξεκαθαρίσουμε: σε πέντε χρόνια ο Κώστας κέρδισε 5 · 12 · 1000 ευρώ, ενώ ο Δημήτρης μετά από πέντε χρόνια δεν έχει τίποτα. Σε πόσους μήνες θα είναι αυτά τα ποσά ίσα;

Από την εκφώνηση μπορούμε να φτιάξουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού ως εξής: η μεταβλητή x θα παριστάνει τον αριθμό των μηνών που ψάχνουμε, όπου x = 0 σημαίνει μηδέν μήνες από τότε που αποφοίτησε ο Δημήτρης.

Πρώτα φτιάχνουμε τη συνάρτηση που θα δίνει το εισόδημα του Δημήτρη ανάλογα με τον αριθμό των μηνών. Αν λοιπόν μας ενδιαφέρει, για παράδειγμα, το εισόδημα του Δημήτρη μετά από έξι μήνες, τότε απλώς υπολογίζουμε ότι 1400 · 6 = 8400 ευρώ. Γενικά μπορούμε να γράψουμε ότι μετά από x μήνες ο Δημήτρης έχει κερδίσει συνολικά 1400 · x ευρώ.

Για τον Κώστα θα ήταν παρόμοια: 1000 · x, μόνο που πρέπει να προσθέσουμε και το ποσό που κέρδισε όσο σπούδαζε ο Δημήτρης. Ο Δημήτρης σπούδαζε πέντε χρόνια, άρα ο Κώστας στη διάρκεια των σπουδών του Δημήτρη κέρδισε 5 · 12 · 1000 ευρώ. Ολόκληρος ο τύπος για τον Κώστα θα είναι λοιπόν: 5 · 12 · 1000 + 1000 · x.

Βάζουμε αυτές τις συναρτήσεις σε μια εξίσωση, επειδή μας ενδιαφέρει για ποιο x είναι ίσα τα κέρδη:

$$5\cdot 12\cdot 1000+1000\cdot x=1400\cdot x$$

Την εξίσωση τη μετατρέπουμε απλά, μεταφέροντας όλα τα x στο ένα μέλος:

$$400x=5\cdot 12\cdot 1000$$

Και τέλος απλώς διαιρούμε με το 400:

$$x=5\cdot 12\cdot 2,5=150$$

Σε 150 μήνες θα έχουν και οι δύο τα ίδια χρήματα. Ο Κώστας στη διάρκεια των σπουδών του Δημήτρη κέρδισε ένα ωραίο ποσό: 5 · 12 · 1000 = 60000 ευρώ, και στους επόμενους 150 μήνες κέρδισε 1000 · 150 = 150000, δηλαδή συνολικά 60000 + 150000 = 210000 ευρώ. Ο Δημήτρης δούλεψε μόνο αυτούς τους 150 μήνες και στο διάστημα αυτό κέρδισε 1400 · 150 = 210000 ευρώ. Βλέπουμε ότι μετά από πέντε χρόνια σπουδών και άλλους 150 μήνες πράγματι και οι δύο κέρδισαν το ίδιο.

Περισσότερα παραδείγματα

Λύσε την παρακάτω εξίσωση πρώτου βαθμού:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Πρώτα εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα:

$$2x-14=6$$

Τώρα αφήνουμε στο πρώτο μέλος την παράσταση με τον άγνωστο και μεταφέρουμε όλα τα υπόλοιπα στο δεύτερο:

$$2x=20$$

… και τέλος διαιρούμε με το δύο.

$$x=10$$

Λύσε την εξίσωση

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Και πάλι πρώτα εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα:

$$9-3x+5x-10=0$$

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων και μεταφέρουμε τους όρους με τον άγνωστο στο πρώτο μέλος και τους υπόλοιπους στο δεύτερο:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Τέλος διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το δύο:

$$x=\frac{1}{2}$$