Circunferencia goniométrica

La circunferencia goniométrica es una circunferencia corriente cuyo radio es igual a uno. Sirve para representar de forma sencilla las definiciones de las distintas funciones trigonométricas.

Qué es la circunferencia goniométrica

La circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio uno cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas, es decir, en el punto (0, 0). Observa la siguiente figura:

La circunferencia está dividida además en cuatro partes, que llamamos cuadrantes. Arriba a la derecha está el primer cuadrante, arriba a la izquierda el segundo, abajo a la izquierda el tercero y abajo a la derecha el cuarto. Como vamos a usar esta circunferencia para representar ángulos, en ella están resaltados los grados. Donde están los cero grados, normalmente empieza el lado del ángulo, y gira en sentido contrario a las agujas del reloj. Por eso el punto (0, 1) está marcado con un ángulo recto.

Definición del seno y del coseno en la circunferencia

En la circunferencia goniométrica se pueden representar muy bien las distintas funciones trigonométricas. Primero dibujamos en la circunferencia un ángulo y después mostraremos dónde podemos leer en ella los valores de cada función.

Hemos dibujado en la circunferencia el ángulo AOB (en rojo). A este ángulo lo hemos llamado alfa. Los lados del ángulo cortan la circunferencia en dos puntos: A y B. Para nosotros será importante el punto B. Si desde el punto B trazamos una recta paralela al eje x (en la figura es la línea horizontal discontinua), esta recta corta al eje y en un único punto. Este punto lo llamamos P_s. Se cumple entonces que la longitud del segmento OP_s (segmento verde) es igual al seno del ángulo alfa.

Como nos movemos en la circunferencia goniométrica, que tiene su centro en el origen del sistema de coordenadas, se cumple que la longitud del segmento OP_s (segmento verde) es igual a la coordenada y del punto P_s, que es igual a la coordenada y del punto B.

En la misma circunferencia podemos leer también el coseno. Trazamos para ello una recta paralela al eje y que pase por el punto B. Esta recta corta al eje x en un punto que llamamos P_c. La longitud del segmento OP_c es entonces igual al coseno del ángulo alfa. De nuevo podemos decir que este valor es igual a la coordenada x de los puntos B y P_c.

Definición de la tangente y de la cotangente

Igual que hemos definido en la circunferencia goniométrica el seno y el coseno, podemos definir aquí la tangente y la cotangente. Para mayor claridad, primero mostraremos dónde aparece la tangente en la circunferencia. Para ello necesitaremos otra recta. Será la recta paralela al eje y que pasa por el punto A, es decir, por el punto (1, 0). En la siguiente figura es la recta azul:

Esta recta corta a la semirrecta (lado del ángulo) OB en un punto, que llamamos P_t. La longitud del segmento AP_t es entonces igual a la tangente del ángulo alfa. De nuevo, basta tomar la coordenada y del punto P_t y obtenemos también la tangente del ángulo alfa.

Para representar la cotangente en la circunferencia goniométrica necesitaremos una recta más. Esta vez se trata de la recta que pasa por el punto (0, 1) y es paralela al eje x. De nuevo está resaltada en azul:

Esta recta corta a la semirrecta (lado del ángulo) OB en un punto, que llamamos P_k. La longitud del segmento CP_k es entonces igual a la cotangente del ángulo alfa. Como siempre, podemos tomar solo la coordenada x del punto P_k y obtenemos la cotangente del ángulo.

La cuestión es qué ocurre si el ángulo alfa es mayor de 90 grados en el caso de la tangente y mayor de 180 grados en el caso de la cotangente, porque en esos casos la recta no corta al lado del ángulo; véase la siguiente figura:

En ese momento convertimos la semirrecta OB en una recta, y esta ya corta a la recta p.

De forma parecida procederíamos en el caso de la tangente.

Cuándo no están definidas la tangente y la cotangente

En la circunferencia goniométrica podemos fijarnos en una cosa curiosa. Si el ángulo alfa es igual a 180 grados, la recta p y el lado del ángulo no se cortan nunca, porque son paralelos. ¿Cómo arreglamos este problema? De ninguna manera: la cotangente de 180 grados no está definida. De forma parecida, la tangente de 90 grados no está definida, porque ese lado será paralelo al eje y y, por tanto, también paralelo a la recta con la que debería cortarse. La siguiente figura lo muestra al menos para la cotangente.