Funktion määrittelyjoukko

Funktion määrittelyjoukko koostuu kaikista sallituista arvoista, jotka voimme sijoittaa funktiossa f(x) argumentin x paikalle niin, että funktio on mielekäs.

Mikä funktion määrittelyjoukko on

Yksinkertainen esimerkki on funktio f(x) = 1/x. Määrittelyjoukko on kaikkien sellaisten sallittujen arvojen joukko, että kun ne sijoitetaan funktioon 1/x, saadaan kelvollinen lauseke.

Jotta tiedämme, mikä on ”kelvollinen lauseke”, meidän täytyy tuntea funktioiden ja laskutoimitusten ominaisuudet. Funktiossamme jaetaan muuttujalla x, muuttuja x on murtoluvun nimittäjässä. Millä arvoilla voimme jakaa? Kaikilla paitsi nollalla. Nollalla ei voi jakaa, samoin nolla ei saa olla murtoluvun nimittäjässä. Muuta rajoitusta jakolaskulla ei ole.

Siksi x:n paikalle voi sijoittaa minkä tahansa reaaliluvun paitsi nollan. Funktion f määrittelyjoukko on siis ℝ ∖ {0}.

Nyt laskimme suurimman määrittelyjoukon. Koska kuitenkin määrittelimme määrittelyjoukon arvojen joukoksi, jotka voimme sijoittaa x:n paikalle, myös mikä tahansa määrittelyjoukon osajoukko on jälleen määrittelyjoukko. Joskus voi olla hyödyllistä rajoittaa funktio vain joillekin x:n arvoille. Esimerkiksi lukujonoissa rajoitutaan vain positiivisiin kokonaislukuihin, trigonometriassa lasketaan usein vain välillä [0, 2π].

Jos kuitenkin tehtävänantona on laskea funktion määrittelyjoukko, yleensä oletetaan, että pitää laskea suurin mahdollinen määrittelyjoukko.

Määrittelyjoukon voi lukea myös funktion kuvaajasta. Otetaan esimerkiksi edellisen funktion f(x) = 1/x kuvaaja.

Jos projisoit kuvaajan x-akselille, saat määrittelyjoukon. Jos piste x ei kuulu määrittelyjoukkoon, ja piirrät tähän pisteeseen x-akselia vastaan kohtisuoran pystysuoran suoran, tämä suora ei leikkaa kuvaajaa missään pisteessä. Nähdään, että tämän ehdon täyttää vain nolla – sen ”yläpuolella tai alapuolella” ei ole yhtään funktion kuvaajan pistettä. Kaikilla muilla on.

Määrittelyjoukon laskeminen

Jotta voit laskea jonkin yhdistetyn funktion määrittelyjoukon, sinun täytyy tuntea kaikkien niiden funktioiden määrittelyjoukot, joista yhdistetty funktio koostuu. Muuten se ei onnistu. Jos pyytäisin sinua laskemaan funktion f(x) = yksi(x) + kaksi(x) määrittelyjoukon, et pääsisi eteenpäin, koska et tiedä, miten funktiot yksi ja kaksi on määritelty. Esitellään joidenkin alkeisfunktioiden määrittelyjoukot:

• Logaritmifunktion määrittelyjoukko on ]0, ∞[.
• Neliöjuuren määrittelyjoukko on [0, ∞[.
• Tangentin määrittelyjoukko on ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Kotangentin määrittelyjoukko on ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Eksponenttifunktion määrittelyjoukko on ℝ.
• Lineaarisen funktion ja toisen asteen polynomifunktion määrittelyjoukko on ℝ.

Jos annettuna on vain yksi funktio, se on hyvin yksinkertaista. Selvitetään yksinkertaisesti, mikä funktion määrittelyjoukko on, katsotaan argumenttia ja sijoitetaan se sopivasti (epä)yhtälöön. Esimerkki – määritä funktion lg(3x + 2) määrittelyjoukko. Logaritmin argumentin täytyy olla positiivinen, joten täytyy päteä 3x + 2 > 0. Tämä on lineaarinen epäyhtälö, jonka voimme yksinkertaisesti ratkaista:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Määrittelyjoukkoon kuuluvat kaikki x, jotka toteuttavat tämän epäyhtälön, joten määrittelyjoukko on ]−2/3, ∞[.

Laske funktion $\sqrt{2x+8}$ määrittelyjoukko.

Neliöjuuren sisällä ei saa olla negatiivista lukua, joten ratkaistaan epäyhtälö 2x + 8 ≥ 0, jolloin saadaan tulos:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Määrittelyjoukko on siis [−4, ∞[.

Laske funktion 1/x² määrittelyjoukko.

Nimittäjässä ei saa olla nollaa, joten ratkaistaan yhtälö x² ≠ 0. Se pätee, kun x ≠ 0, joten määrittelyjoukko on ℝ ∖ {0}.

Yhdistettyjen funktioiden purkaminen osiin

Yhdistettyjen funktioiden kohdalla tilanne on hieman monimutkaisempi, koska täytyy ottaa huomioon useita funktioita, jotka vaikuttavat toisiinsa ja pienentävät vähitellen määrittelyjoukkoaan. Otetaan vaikka tämä esimerkki:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Tässä täytyy päteä kaksi ehtoa. Neliöjuuren sisällä olevan lausekkeen täytyy olla suurempi tai yhtä suuri kuin nolla, se ei saa olla negatiivinen. Siksi x ≥ 0. Neliöjuuri on kuitenkin murtoluvun nimittäjässä, joten neliöjuuri ei saa olla nolla, sillä silloin murtoluku ei taas olisi mielekäs. Edellinen toteamus siis vahvistetaan muotoon x > 0.

Samalla tavalla toimitaan muissakin esimerkeissä. On kuitenkin tärkeää määrittää sisäkkäisten funktioiden järjestys – täytyy selvittää, mikä funktio on sisäfunktio ja mikä ulkofunktio. Edellisessä esimerkissä se oli ilmeistä – sisäfunktio oli neliöjuuri ja ulkofunktio murtoluku. Jos haluaisimme laskea lausekkeen käsin, ottaisimme ensin argumentista x neliöjuuren ja vasta sen jälkeen laskisimme murtoluvun. Tämä on aika hyvä muistisääntö – sisimmäinen funktio on se, jolla alkaisit laskea, jos laskisit käsin. Toinen esimerkki:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Voimme nyt valita päinvastaisen lähestymistavan. Etsitään ulkofunktioita. Ulkofunktio ”ympäröi” sisäfunktiot. Tässä aivan ilmeisesti viides juuri ympäröi kaikki muut funktiot. Sen jälkeen kolmas potenssi ympäröi logaritmin tuloksen, logaritmi ympäröi tangentin ja lopuksi muuttujaa x ympäröi tangentti. Yksinkertaista. Aiemmalla tavalla asian voi ajatella näin: kun tunnemme arvon x, sovellamme sitä ensimmäiseksi tangenttiin. Se on siis sisimmäinen funktio. Tämän tuloksen sovellamme logaritmiin – se on siis toiseksi sisimmäinen funktio. Tämän tuloksen sovellamme taas potenssiin, ja lopuksi otamme siitä juuren.

Pura yhdistetty funktio osiin:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Aloitetaan ulkofunktiosta. Se on sini. Seuraavana on murtolauseke, sitten logaritmi, sitten eksponenttifunktio (kuvittele sijoitus 10^a) ja lopuksi lineaarinen funktio 2x + 3.

Pura yhdistetty funktio osiin:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Ulkofunktio on eksponenttifunktio 2^a. Seuraavana on murtolauseke ja sitten murtoluvun nimittäjässä neliöjuuri ja lopuksi lineaarinen funktio 3x.

Yhdistettyjen funktioiden määrittelyjoukko

Jos osaat purkaa funktioita ulko- ja sisäfunktioihin, määrittelyjoukon määrittäminen ei voi enää olla sinulle mikään ongelma. Näytetään se suoraan esimerkillä:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Aloitetaan murtoluvusta. Sille täytyy päteä, että nimittäjä on eri kuin nolla. Kirjoitetaan se:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Sinifunktion ominaisuuksista tiedämme, että se saa arvon 1 pisteessä x = π/2. Koska funktio on jaksollinen, saadaan joukko M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Tämä on niiden arvojen joukko, joilla nimittäjä on nolla. Näitä x:n arvoja emme voi sijoittaa funktioomme.

Tämä ei kuitenkaan ole kaikki, meidän täytyy vielä katsoa sinifunktion määrittelyjoukkoa. Onneksi se on ℝ, joten se ei rajoita meitä mitenkään. Rajoitus tulee vain murtoluvun nimittäjästä. Funktion f määrittelyjoukko on siis ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.