Mikä on funktio

Funktio on matematiikassa aivan keskeinen käsite, ja sen kannattaa ymmärtää kunnolla. Matematiikka on täynnä funktioita, ja moni peruskoulusta tuttu merkki on oikeastaan funktio.

Funktion vertaus kahviautomaattiin

Oletko koskaan nähnyt kahviautomaatin? Mikä on sille tyypillistä? Automaattiin laitetaan kolikoita, ja automaatti antaa vastineeksi kahvia. Jos kolikoita laitetaan enemmän, automaatti antaa parempaa kahvia.

Funktio on tällainen matemaattinen kahviautomaatti. Funktioon laitetaan jotakin sisään (kolikot), ja funktio antaa jotakin ulos (kahvi). Tämä on funktion koko perusperiaate.

Funktion tehtävänä on ottaa vastaan jokin luku, tehdä sille jotakin sisällä, muuttaa se ja antaa sitten uusi luku ulos.

Peruskäsitteet

Jokaisella funktiolla on nimi, jolla siihen viitataan. Yleisin funktion nimi on kirjain ”f”. Funktiolle tarvitaan lauseke, joka kertoo, miten funktion pitää toimia – miten automaatin pitää keittää kahvi. Aluksi funktion voi kuvitella taulukkona, jossa on kaksi saraketta. Ensimmäisessä sarakkeessa on sisään laitettava arvo (automaatissa kolikoiden arvo) ja toisessa funktion antama arvo (kahvi).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{muuttujan arvo}& \text{funktion arvo}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Nähdään, että funktion antama arvo on aina kaksi kertaa suurempi kuin sisään laitettu arvo, mutta näin ei suinkaan tarvitse olla. Taulukko voisi olla myös tällainen:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{muuttujan arvo}& \text{funktion arvo}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Aluksi meille kuitenkin riittää ensimmäinen, säännöllinen taulukko. Voidaan sanoa, että tämä taulukko määrittelee funktion f. Mitä funktio tekee? Funktioon laitetaan jokin arvo, funktio etsii sen taulukon ensimmäisestä sarakkeesta ja antaa saman rivin toisessa sarakkeessa olevan arvon. Jos etsitään funktion arvoa luvulle kolme, se kirjoitetaan näin:

$$f(3)=6$$

Löydettiin rivi, jolla sisään laitettu arvo on kolme, ja samalla rivillä funktion arvo oli kuusi. Lisäksi pätisi f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 ja f(5) = 10. Kaikkien funktioiden kirjoittaminen taulukoina voi vaikuttaa selkeältä muutaman luvun kohdalla, mutta jos lukuja on enemmän, se on erittäin epäkäytännöllistä. Siksi tarvitaan toinen kirjoitustapa. Funktio voidaan antaa lausekkeella. Taulukossamme funktion arvo oli kaksi kertaa suurempi kuin sisään laitettu arvo. Se voitaisiin kirjoittaa lausekkeella näin:

$$f(x)=2\cdot x$$

Tämä on yksinkertainen lineaarinen funktio, mutta sillä ei ole vielä merkitystä. Mitä tämä lauseke kertoo? Kirjain f on funktion nimi, sen tiedämme jo. Sulkeissa oleva lauseke eli kirjain x on funktion parametri. Automaattivertauksessa se vastaisi käsitettä ”sisään laitettujen kolikoiden arvo”. Funktion parametri on muuttuja, johon tallentuu funktiolle annettu arvo. Jos automaattiin (funktioon) laitettaisiin kaksikymmentä senttiä, funktiossa olisi x = 20. Tämän arvon kanssa automaatti eli funktio toimii sitten omalla tavallaan.

Seuraavaksi tulee yhtäsuuruusmerkki, ja sen jälkeen on varsinainen lauseke, joka määrittää, mitä arvolle x tehdään. Nähdään, että funktio kertoo annetun arvon x kahdella. Siinä kaikki.

Lisää esimerkkejä funktioista

Tämän oikean puolen paikalla voi olla käytännössä mikä tahansa matemaattinen lauseke. Siinä voi olla myös muita funktioita, ja siinä voi olla ehtoja, jotka tarkentavat määritelmää. Jokin funktio voitaisiin määritellä sanallisesti esimerkiksi näin: ”jos annettu luku on parillinen, palauta nolla, ja jos annettu luku on pariton, palauta ykkönen”. Tämä funktio palauttaa vain ykkösiä ja nollia, mutta funktio se on.

On tärkeää ymmärtää, että funktion voi määritellä lähes millä tavalla tahansa. Tietysti myös funktiolla on omat sääntönsä, mutta ne eivät ole nyt niin tärkeitä – yksi säännöistä esitellään lisäksi heti seuraavassa luvussa. Funktion määritelmän ei tarvitse ensi silmäyksellä olla järkevä, eikä sillä tarvitse olla mitään järjestystä. Funktio voi hyvin palauttaa aina kaksinkertaisen arvon paitsi silloin, kun annettu luku on seitsemän. Silloin se palauttaa yhdeksän. Tämä on melko järjetön funktio, mutta funktio sekin.

Funktioiksi voidaan kutsua myös suurta osaa niistä toimenpiteistä, joita teemme matematiikan ulkopuolella. Jos esimerkiksi lasket sanan ”mammutti” pituuden, voidaan sanoa, että kutsuit funktiota nimeltä ”sanan pituus” ja annoit sille argumentiksi sanan ”mammutti”. Funktio laski sanan kirjaimet ja palautti tulokseksi luvun kahdeksan.

Täytyykö laskea, paljonko maksat korkoa korolle lainasta tai asuntolainasta? Senkin voi hoitaa funktio. Funktio vain määritellään niin, että se laskee koron suuruuden vaikkapa kymmenen vuoden jälkeen. Täytyykö selvittää, kuinka monta kilometriä auto vielä ajaa tietyllä määrällä bensiiniä? Määrittele funktio! Jos auto ajaa keskimäärin vaikkapa 11 kilometriä litralla bensiiniä, funktio, joka laskee, kuinka pitkän matkan vielä ajamme, voidaan määritellä näin:

$$matka(x)=11\cdot x$$

Jos bensiiniä on jäljellä enää 17 litraa, matka lasketaan kutsumalla funktiota näin:

$$matka(17)=11\cdot 17=187$$

Funktio on lyhyesti sanottuna mikä tahansa, joka antaa annettua arvoa vastaavan luvun. Palauta ilmaetäisyys Oulusta johonkin kaupunkiin, palauta annetun albumin pisimmän kappaleen pituus, palauta annetun ihmisen hiusten lukumäärä, palauta annetun eläimen jalkojen lukumäärä jne.

Funktion perusominaisuus

Funktiolle on erittäin tärkeä ehto, kun palataan taulukkoon: ensimmäisessä sarakkeessa, jossa on sisään laitettavat arvot, ei saa olla samaa arvoa kahdesti. Jos taulukko näyttäisi tältä:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{muuttujan arvo}& \text{funktion arvo}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… emme pystyisi sanomaan, mitä funktion pitää palauttaa, kun siihen laitetaan ykkönen:

$$f(1)=?$$

Funktion täytyy olla yksiselitteisesti määritelty. Ei voi käydä niin, että samalla sisään laitetulla arvolla funktio voisi palauttaa kaksi eri tulosta. Se ei yksinkertaisesti käy. Funktiolta vaaditaan, että samalla annetulla arvolla se palauttaa aina saman tuloksen. Huomaa, että tämä vaatimus ei koske toista saraketta eli funktion antamia arvoja. Funktion arvot saavat hyvin olla samoja, se ei haittaa. Tämä taulukko olisi kelvollinen:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{muuttujan arvo}& \text{funktion arvo}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Funktion arvon laskeminen

Tiedämme jo, mitä funktion eri osia kutsutaan ja miten funktio suunnilleen määritellään. Nyt selitetään vaihe vaiheelta, miten funktion arvo lasketaan. Meillä on siis funktio f(x) = 2x. Mitä tapahtuu, kun funktioon laitetaan kolmonen? Kun funktioon halutaan laittaa kolmonen, se tarkoittaa, että funktion parametrin tilalle sijoitetaan luku kolme. Funktion argumentti on kolme, joten kaikkien x:ien paikalle sijoitetaan kolme:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Nähdään jo, että funktio antaa tulokseksi kuusi, aivan kuten taulukko hetki sitten. Taulukko rajoittui kuitenkin vain viiteen lukuun, mutta uusi määritelmämme pystyy käsittelemään myös muita lukuja:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Tätä toimintatapaa, jossa muuttujan x paikalle sijoitetaan tietty arvo, kutsutaan funktion arvon laskemiseksi eli funktion kutsumiseksi tai funktion soveltamiseksi. Jos siis sanotaan, että ”kutsutaan funktiota f argumentilla 5”, halutaan laskea arvo f(5), joka meidän tapauksessamme on f(5) = 2 · 5 = 10.

Vielä kaksi muistettavaa käsitettä. Sitä, millä arvolla funktiota kutsutaan (mitä x:n paikalle sijoitetaan), sanotaan funktion argumentiksi. Tämä voi tuntua hieman sekavalta, mutta jos meillä on funktio f(x) ja kutsumme sitä arvolla kolme, f(3), niin x on funktion parametri ja 3 on funktion argumentti. Argumentti on se arvo, jolla funktiota kutsutaan. Parametri on alkuperäinen muuttuja, jonka avulla funktio on määritelty. Tämä on pikemminkin tekninen yksityiskohta.

Seuraava käsite on funktion arvo, eli arvo, jonka funktio palauttaa. Edellinen funktio palautti luvulla kolme kutsuttaessa luvun kuusi. Luku kuusi on siis tässä tapauksessa funktion arvo. Kokonaisella lauseella sanottaisiin, että ”funktion f arvo pisteessä kolme on kuusi”. Tässä yhteydessä sanalla ”piste” tarkoitetaan yleensä funktion argumenttia.

Funktiot tavallisessa matematiikassa

Tavallisessa matematiikassa on joukko funktioita, joilla on hyvin erikoinen kirjoitustapa, joten ei edes näytä siltä, että kyse on funktioista. Esimerkiksi itseisarvo ei ole mitään muuta kuin funktio. Se ottaa sisään jonkin luvun ja palauttaa joko saman luvun tai vastaluvun.

Tunnistat varmasti neliöjuuren merkin: $\sqrt{}$. Tämäkin on funktio. Se ottaa sisään jonkin argumentin ja palauttaa sen neliöjuuren. Samoin toinen potenssi x² on funktio. Se ottaa sisään luvun ja palauttaa sen toisen potenssin.

On melko tärkeää ymmärtää, että useimmat tällaiset taikamerkit eivät todellisuudessa ole mitään monimutkaisempaa kuin tavallinen funktio. Älä katso merkkiä $\sqrt{}$ outona kaarevana kuvana, vaan katso sitä funktiona.

Aloittelijaa voi nimittäin hämmentää lauseke, jossa on kasa matemaattisia merkkejä, joista aloittelija parka ei ymmärrä puoliakaan, vaikka kyse on yksinkertaisesti muutamasta yhdistetystä funktiosta. Otetaan avuksi tämä esimerkki:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Kun matematiikkaa tuntematon katsoo tätä, hän raapii päätään eikä tiedä, mitä sillä pitäisi tehdä. Silti lausekkeessa on yhteensä neljä melko yksinkertaista funktiota, joita sovelletaan peräkkäin muuttujaan x. Se voitaisiin kirjoittaa auki nimettyjen ja sisäkkäisten funktioiden avulla näin:

$$\text{kertoma}(\text{neliöjuuri}(\text{itseisarvo}(\text{neliö}(x))))$$

Kirjoitusasu on pidempi, mutta sille, joka ei tunne merkkejä, luultavasti selkeämpi. Samalla on myös täysin selvää, missä järjestyksessä funktioita kutsutaan.

Yhteenveto funktion kirjoittamisesta

Funktiolla on nimi, joka voi olla periaatteessa mikä tahansa. Yleisimmin yleinen funktio nimetään f:ksi. Jokaisella funktiolla on tietty määrä parametreja, jotka kirjoitetaan nimen perään kaarisulkeisiin. Jos funktiollamme f olisi kaksi parametria, se kirjoitettaisiin näin: f(x, y) tai f(a, b). Parametrien nimillä ei yleensä ole merkitystä.

Joillakin usein käytetyillä funktioilla on oma merkkinsä, esimerkiksi neliöjuurella on merkki $\sqrt{}$. Lisäksi sin tai sin(x) on sinifunktio, |x| on itseisarvofunktio ja x! on kertomafunktio.

Jos funktiolla on yksi parametri, joskus sulut jätetään pois, mikä voi toisinaan selkeyttää kirjoitusasua ja toisinaan ei. Niinpä sin(x) ja sin x ovat molemmat kelvollisia tapoja kirjoittaa sinifunktio.

Kun puhutaan funktion parametrista, puhutaan kirjaimesta x merkinnässä f(x). Argumentti on arvo, jolla funktiota kutsutaan ja jonka sijoitamme x:n paikalle. Usein nämä kaksi käsitettä sekoittuvat toisiinsa. Funktion arvo on arvo, jonka saamme funktiota kutsuttuamme. Se kirjoitetaan yksinkertaisesti funktion nimenä, sulkeina ja argumenttina. Jos meillä on funktio f(x) = 2x ja sijoitamme parametrin x paikalle argumentin x = 4, sanotaan, että kutsuimme funktiota argumentilla x = 4 ja saatu funktion arvo f(4) on kahdeksan.