Yksikköympyrä

Yksikköympyrä on tavallinen ympyrä, joka on yksikötön, tarkemmin sanottuna tämän ympyrän säde on yksi. Yksikköympyrä sopii hyvin yksittäisten trigonometristen funktioiden määritelmien havainnollistamiseen.

Mikä yksikköympyrä on

Yksikköympyrä on ympyrä, jonka säde on yksi ja jonka keskipiste on koordinaatiston origossa, eli pisteessä (0, 0). Katso seuraavaa kuvaa:

Ympyrä on lisäksi jaettu neljään osaan, joita sanotaan neljänneksiksi. Oikealla ylhäällä on ensimmäinen neljännes, vasemmalla ylhäällä toinen, vasemmalla alhaalla kolmas ja oikealla alhaalla neljäs. Koska tätä ympyrää käytetään kulmien havainnollistamiseen, ympyrälle on merkitty asteet. Siellä, missä on nolla astetta, kulman kylki yleensä alkaa ja kääntyy vastapäivään. Siksi pisteeseen (0, 1) on merkitty suora kulma.

Sinin ja kosinin määritelmä yksikköympyrällä

Yksikköympyrällä yksittäiset trigonometriset funktiot voi havainnollistaa hyvin kauniisti. Ensin yksikköympyrälle piirretään jokin kulma, ja sen jälkeen näytetään, mistä yksikköympyrältä voi lukea yksittäisten funktioiden arvot.

Ympyrälle piirrettiin kulma AOB (punaisella). Tämä kulma nimettiin alfaksi. Kulman kyljet leikkaavat yksikköympyrän kahdessa pisteessä: A ja B. Jatkossa tärkeä on piste B. Jos pisteestä B vedetään x-akselin suuntainen suora (kuvassa katkoviivalla piirretty vaakasuora viiva), tämä suora leikkaa y-akselin täsmälleen yhdessä pisteessä. Tämä piste merkitään P_s. Silloin pätee, että janan OP_s (vihreä jana) pituus on yhtä suuri kuin kulman alfa sini.

Koska liikutaan yksikköympyrässä, jonka keskipiste on koordinaatiston origossa, pätee, että janan OP_s (vihreä jana) pituus on yhtä suuri kuin pisteen P_s y-koordinaatti, joka on yhtä suuri kuin pisteen B y-koordinaatti.

Samalta ympyrältä voi lukea myös kosinin. Vedetään siis y-akselin suuntainen suora pisteen B kautta. Tämä suora leikkaa x-akselin pisteessä, joka merkitään P_c. Janan OP_c pituus on silloin yhtä suuri kuin kulman alfa kosini. Taas voidaan sanoa, että tämä arvo on yhtä suuri kuin pisteiden B ja P_c x-koordinaatti.

Tangentin ja kotangentin määritelmä

Samaan tapaan kuin yksikköympyrällä määriteltiin sini ja kosini, voidaan tässä määritellä tangentti ja kotangentti. Selkeyden vuoksi näytetään ensin, missä tangentti esiintyy yksikköympyrällä. Siihen tarvitaan vielä yksi suora. Se on suora, joka on yhdensuuntainen y-akselin kanssa ja kulkee pisteen A, eli pisteen (1, 0) kautta. Seuraavassa kuvassa se on sininen suora:

Tämä suora leikkaa puolisuoran (kulman kyljen) OB yhdessä pisteessä, joka merkitään P_t. Janan AP_t pituus on silloin yhtä suuri kuin kulman alfa tangentti. Taas pätee, että riittää ottaa pisteen P_t y-koordinaatti, niin saadaan myös kulman alfa tangentti.

Jotta kotangentti saataisiin esitettyä yksikköympyrällä, tarvitaan vielä yksi suora. Tällä kertaa kyseessä on suora, joka kulkee pisteen (0, 1) kautta ja on yhdensuuntainen x-akselin kanssa. Se on taas korostettu sinisellä värillä:

Tämä suora leikkaa puolisuoran (kulman kyljen) OB yhdessä pisteessä, joka merkitään P_k. Janan CP_k pituus on silloin yhtä suuri kuin kulman alfa kotangentti. Kuten aina, voidaan ottaa vain pisteen P_k x-koordinaatti, ja saadaan kulman kotangentti.

Kysymys kuuluu, mitä tapahtuu, jos kulma alfa on suurempi kuin 90 astetta tangentin tapauksessa ja suurempi kuin 180 astetta kotangentin tapauksessa, koska näissä tapauksissa suora ei leikkaa kulman kylkeä, katso seuraava kuva:

Tällöin puolisuorasta OB tehdään suora, ja tämä suora leikkaa suoran p.

Samaan tapaan edettäisiin myös tangentin tapauksessa.

Milloin tangenttia ja kotangenttia ei ole määritelty

Yksikköympyrällä voi huomata yhden mielenkiintoisen asian. Jos kulma alfa on 180 astetta, suora p ja kulman kylki eivät leikkaa koskaan, koska ne ovat yhdensuuntaiset. Miten tämä ongelma korjataan? Ei mitenkään, 180 asteen kotangenttia ei ole määritelty. Samoin 90 asteen tangenttia ei ole määritelty, koska tällainen kylki on yhdensuuntainen y-akselin kanssa ja siis myös yhdensuuntainen sen suoran kanssa, jonka kanssa sen pitäisi leikata. Seuraava kuva näyttää tämän ainakin kotangentille.