Joukkojen yhdiste, leikkaus, erotus ja komplementti

Joukoilla voi tehdä erilaisia joukko-operaatioita. Perustavimpia niistä ovat yhdiste, leikkaus, erotus ja komplementti.

Joukkojen yhdiste

Joukkojen yhdiste merkitään symbolilla ∪, eli joukkojen A ja B yhdiste merkitään tavalliseen tapaan A ∪ B. Joukkojen A ja B yhdisteenä syntyy uusi joukko, jossa on kaikki joukon A alkiot ja myös kaikki joukon B alkiot. Määritelmä:

$$A\cup B=\{x|x\in A\vee x\in B\}$$

Esimerkki: olkoon kaksi joukkoa A = {1, 3, 5, 7} ja B = {2, 4, 6}. Yhdisteeksi syntyy joukko A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Tulosjoukossa on molempien joukkojen alkiot.

Toinen esimerkki: A = {1, 2, 3} ja B = {2, 3, 4}. Yhdisteeksi saamme A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. Alkiot 2 ja 3 eivät ole tulosjoukossa kahdesti, koska joukossa ei ole samaa alkiota useammin kuin kerran.

Muita ominaisuuksia:

• A ∪ A = A: jos yhdistämme kaksi samaa joukkoa, saamme jälleen saman joukon.
• A ∪ B = B ∪ A: yhdiste on vaihdannainen, järjestyksellä ei ole väliä.
• A ∪ ∅ = A: tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, joten ei ole mitään yhdistettävää.

Joukkojen leikkaus

Kahden joukon A ja B leikkauksena syntyy uusi joukko, jossa on alkiot, jotka ovat molemmille joukoille yhteisiä. Tarkemmin sanoen uudessa joukossa on alkiot, jotka kuuluvat joukkoon A ja samalla kuuluvat joukkoon B. Leikkaus merkitään symbolilla ∩. Määritelmä:

$$A\cap B=\{x|x\in A\wedge x\in B\}$$

Esimerkki: A = {1, 3, 5, 7, 9} ja B = {4, 5, 6, 7}. Leikkaus on A ∩ B = {5, 7}. Toinen esimerkki: A = {a, b, c, d, e} ja B = {f, g, h, i, j}. Leikkaus on A ∩ B = ∅. Näillä joukoilla ei ole yhtään yhteistä alkiota, joten leikkaus on tyhjä joukko.

Muita ominaisuuksia:

• A ∩ A = A: kahden saman joukon leikkaus on jälleen sama joukko.
• A ∩ B = B ∩ A: leikkaus on vaihdannainen, järjestyksellä ei ole väliä.
• A ∩ ∅ = ∅: tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, joten sillä ei varmasti ole yhtään samaa alkiota kuin joukolla A.

Joukkojen erotus

Joukkojen erotus merkitään tavallisella miinusmerkillä − tai paremmin tällaisella vinolla miinuksella ∖. Kahden joukon A ja B erotuksella tarkoitamme joukkoa, jossa on kaikki joukon A alkiot ja jossa ei ole yhtään joukon B alkiota. Katsot siis, mitkä alkiot ensimmäisellä joukolla on yhteisiä toisen kanssa, ja poistat ne. Määritelmä:

$$A\setminus B=\{x\in A|x\notin B\}$$

Esimerkki: A = {1, 2, 3, 4, 5} ja B = {4, 5, 6, 7, 8}. Erotus on tällöin A ∖ B = {1, 2, 3}. Ne ovat alkiot, jotka jäävät jäljelle, kun joukosta A poistetaan kaikki alkiot, jotka ovat joukossa B. Toinen esimerkki: A = {a, b, d, e}. Erotus A ∖ A = ∅.

Muita ominaisuuksia:

• A ∖ A = ∅: aivan kuten kun vähennämme kaksi samaa lukua toisistaan, saamme nollan (esim. 5 − 5 = 0), niin kun vähennämme kaksi samaa joukkoa toisistaan, saamme tyhjän joukon.
• A ∖ ∅ = A: tyhjässä joukossa ei ole yhtään alkiota, joten joukosta A ei voi poistaa yhtään alkiota.

Joukon komplementti

Joukon A komplementti merkitään monella tavalla, mutta yleisimmin yläindeksillä A^c, joskus myös pilkulla A' tai yläviivalla: $\bar{A}$. Käytän yksinkertaisuuden vuoksi merkintää A^c. Joukon A komplementin laskemiseksi meidän täytyy tietää, missä joukossa komplementti lasketaan. Joukon komplementti koostuu nimittäin kaikista alkioista, jotka eivät ole joukossa A, joten se on eräänlainen joukon A vastakohta.

Jos perusjoukkona on M = {1, 2, 3, …, 9, 10}, niin joukon A = {2, 4, 6, 8, 10} komplementti joukossa M on joukko A^c = {1, 3, 5, 7, 9}. Siinä on kaikki joukon M alkiot, jotka eivät ole joukossa A. Voimme sanoa, että A^c joukossa M on M ∖ A.

Jos otamme perusjoukoksi kokonaisluvut, parillisten lukujen joukon komplementti on parittomat luvut. Joukon A = {1, 2, 3, 4} komplementti on joukko A^c = {…, −3, −2, −1, 0, 5, 6, 7, …}.

Komplementille pätee, että kun sen ottaa kahdesti, saa takaisin alkuperäisen joukon. Esimerkiksi kokonaisluvuissa: parillisten lukujen komplementti on parittomat luvut. Ja parittomien lukujen komplementti on taas parilliset luvut. Siis A = (A^c)^c (joukon A komplementin komplementti).