Yhteen- ja vähennyslasku
Yhteen- ja vähennyslasku ovat matematiikan peruslaskutoimituksia, joita tarvitaan myös arjessa. Yhteen voi laskea monenlaisia rakenteita, mutta tässä keskitymme vain kokonaislukujen yhteenlaskuun.
Yhteenlasku
Yhteenlaskua merkitään plusmerkillä +. Yhteenlaskussa lasketaan yhteen yhteenlaskettavia: jos haluamme laskea 2 + 3, sekä kakkonen että kolmonen on yhteenlaskettava. Tulos on summa, eli viitonen lausekkeessa 2 + 3 = 5 on summa.
Yhteen voi laskea periaatteessa mitä tahansa lukuja, olivatpa ne luonnollisia lukuja kuten 1, 5, 157 tai negatiivisia lukuja kuten −4, −74. Lisäksi voimme laskea yhteen rationaalilukuja eli murtolukuja, reaalilukuja kuten π ja lopulta myös kompleksilukuja. Yhteen voi laskea myös muita rakenteita, esimerkiksi matriiseja tai vektoreita.
Yhteenlaskua selitetään yleensä omenakasan avulla: jos korissasi on kolme omenaa ja joku antaa sinulle vielä neljä omenaa, montako omenaa sinulla on? Sinulla on 3 + 4 = 7 omenaa.
Miten suuria lukuja lasketaan yhteen
Jos antaisin sinulle tehtäväksi laskea yhteen 17564 ja 3272, tuskin osaisit sanoa tulosta heti päässälaskulla. Siksi käytetään joko laskinta tai kynää ja paperia. En opeta tässä, miten luvut näppäillään laskimeen, vaan keskitytään paperilla laskemiseen.
Kirjoitamme yhteen laskettavat luvut allekkain ja tasaamme ne oikealle niin, että samat paikat (ykköset, kymmenet, sadat, …) ovat allekkain. Molempien lukujen alle vedetään vaakaviiva. Se näyttää tältä:
Nyt lasketaan yhteen allekkain olevat numerot. Jos numeroiden summa on pienempi kuin kymmenen, kirjoitamme summan suoraan viivan alle. Edetään oikealta, pienimmästä paikasta. Ensimmäisenä lasketaan siis 4 + 2, mikä on kuusi. Kuusi on pienempi kuin kymmenen, joten kirjoitamme viivan alle luvun kuusi:
Jatketaan ja lasketaan 6 + 7. Se on 13, mikä on jo suurempi kuin kymmenen. Nyt kirjoitamme viivan alle vain ykkösten paikan numeron eli kolmosen (vähennämme luvusta kolmetoista kymmenen).
Mitä tapahtui sille ykköselle, jonka jätimme pois, ja mitä se tarkoittaa? Nyt käsittelemme oikealta toista saraketta, joka luvussa tarkoittaa kymmeniä. Todellisuudessa laskimme siis kymmeniä eli laskimme 60 + 70 = 130. Päätimme pitää luvun 30 ja siirsimme luvun 100 myöhemmäksi. Mihin kohtaan? Seuraavaan vaiheeseen, seuraavaan sarakkeeseen. Seuraavassa vaiheessa pääsemme laskemaan satojen numeroita. Meillä on yksi ylimääräinen sata, jonka saimme kymmeniä laskiessamme. Helpointa on lisätä se sata seuraavan vaiheen yhteenlaskuun.
Siis sen sijaan, että laskisimme seuraavassa vaiheessa 5 + 2, lasketaan 5 + 2 + 1, missä ykkönen tarkoittaa sataa, jonka saimme edellisessä vaiheessa. Kokonaistulos on kahdeksan, mikä on pienempi kuin kymmenen. Kirjoitamme siis viivan alle kahdeksikon.
Seuraavaan vaiheeseen ei tule ylimääräistä tuhatta, joten lasketaan vain 7 + 3 = 10. Tämä luku ei ole pienempi kuin kymmenen, joten kirjoitamme viivan alle viimeisen numeron ja yksi siirtyy eteenpäin. Viivan alle tulee siis nolla, ja seuraavaan vaiheeseen jää yksi ylimääräinen kymmenentuhatta.
Viimeisessä sarakkeessa on numero vain ensimmäisellä rivillä. Toiselle riville kuvittelemme nollan ja laskemme 1 + 0. Emme saa unohtaa lisätä edellisestä vaiheesta tullutta ykköstä: 1 + 0 + 1 = 2. Viivan alle kirjoitetaan kakkonen.
Näin algoritmi päättyy, ja meillä on lukujen 17564 + 3272 summa.
Kirjallisen yhteenlaskun animaatio
Voit kirjoittaa seuraaviin kenttiin kaksi luonnollista lukua ja katsoa sitten koko laskun animaationa.
Yhteenlaskun havainnollistus lukusuoralla
Yhteenlaskun voi esittää lukusuoralla. Lukusuora on suora, johon on merkitty kaikki luvut. Se voi näyttää tältä:
Jos haluamme havainnollistaa lukusuoralla kahden luvun, esimerkiksi 3+4, yhteenlaskua, toimimme näin: piirrämme janan, joka alkaa origosta eli nollasta ja päättyy kolmoseen. Yhteenlaskussa jana suunnataan aloituspisteestä oikealle. Siis näin:
Nyt lukusuoralle merkitään neljä. Aloitamme kuitenkin jo luvusta kolme ja piirrämme siitä oikealle janan, jonka pituus on neljä. Näin:
Piste, johon toinen, vihreä jana päättyy, esittää lopputulosta: 3 + 4 = 7.
Vähennyslasku
Vähennyslasku on yhteenlaskun käänteistoimitus. Jos lisäät johonkin lukuun a luvun b ja vähennät sen jälkeen luvun b, saat takaisin luvun a. Näytämme menetelmän esimerkillä 158 748 − 99 575. Kuten yhteenlaskussa, kirjoitamme luvut allekkain:
Viivan alle kirjoitetaan tulos samoin kuin yhteenlaskussa. Edetään oikealta, pienimmistä paikoista. Ensimmäisenä lasketaan siis ykköset. Jos ylempi luku ei ole alempaa pienempi, kirjoitamme viivan alle erotuksen ylempi luku − alempi luku. (Tai toisin päin: jos alempi luku on pienempi tai yhtä suuri, voimme vähentää huoletta.) Ykkösten paikalla ylempi luku ei ole pienempi, joten kirjoitamme erotuksen 8 − 5 = 3.
Siirrytään yksi numero vasemmalle kymmenten paikalle. Tässä ylempi luku on jo pienempi kuin alempi luku. Nyt lisäämme ylempään lukuun kymmenen ja laskemme muuten samoin: ylempi luku + 10 − alempi luku. Tulos on 4 + 10 − 7 = 14 − 7 = 7.
Kymmenten vähennyksessä otimme apuun kymmenen kymmentä, joten se on muistettava seuraavassa vaiheessa. Kymmenen kymmentä on yksi sata, joten seuraavassa vaiheessa vähennämme yhden sadan enemmän. Se tarkoittaa, että alempaan viitoseen lisätään edellisen vaiheen ykkönen.
Satojen paikalla tutkimme siis, onko seiska (ylempi luku) pienempi kuin kuutonen (alempi luku + 1). Ei ole, joten voimme laskea tavallisen erotuksen ylempi miinus alempi. Myös tässä erotuksessa on alempaan lukuun lisättävä ykkönen, joten tulokseksi saadaan 7 − (5 + 1) = 7 − 5 − 1 = 1.
Seuraavaan vaiheeseen ei siirry mitään, koska tässä vaiheessa ei tarvinnut lainata korkeampia paikkoja. Tuhansien paikalla ei siis lisätä mitään mihinkään. Ylemmän luvun kahdeksikko on kuitenkin pienempi kuin alemman luvun ysi, joten ylempään lukuun on lisättävä kymmenen. Saamme erotuksen 8 + 10 − 9 = 9.
Seuraavaan vaiheeseen siirretään ykkönen, ja se lisätään alempaan lukuun. Yhdeksän plus yksi on kymmenen, ja ylempi viisi on pienempi kuin kymmenen. Ylempään lukuun lisätään kymmenen ja lasketaan erotus: 5 + 10 − (9 + 1) = 5.
Taas käytimme apuna korkeampaa paikkaa, joten siirrämme ykkösen seuraavaan vaiheeseen. Siellä alemmasta luvusta puuttuu numero, joten oletamme sen nollaksi. Kun lisäämme ykkösen, saamme tulokseksi yksi. Ylempi luku ei ole alempaa pienempi (nyt ylempi luku on yhtä suuri kuin alempi), joten voimme vähentää suoraan: 1 − 1 = 0.
Tulos on valmis. Alussa oleva nolla voidaan jättää pois ja kirjoittaa: 158 748 − 99 575 = 59 173.
Vähennyslaskun havainnollistus lukusuoralla
Vähennyslaskunkin voi yhteenlaskun tavoin esittää lukusuoralla. Ainoastaan janaa piirrettäessä sen suunta muuttuu: jana ei mene nykyisestä pisteestä oikealle vaan vasemmalle. Jos siis haluaisimme laskea 2 − 5, toimisimme näin. Ensin merkitsemme lukusuoralle kakkosen positiiviseen suuntaan, koska kaksi on positiivinen luku. Vähennämme viitosen, joten se piirretään päinvastaiseen suuntaan.
Nyt lukusuoralle piirretään toinen jana, joka esittää lukua miinus viisi. Aloitamme pisteestä, johon jäimme eli kakkosesta. Janan suunta on kuitenkin taaksepäin, vasemmalle.
