Analisis grafik fungsi: interval naik dan turun

Ketika menganalisis grafik fungsi, kita antara lain mencari interval tempat fungsi naik atau turun. Untuk itu, turunan fungsi sangat membantu.

Cara menentukan kemonotonan fungsi

Gradien garis singgung di suatu titik, yaitu turunan fungsi di titik itu, memberi tahu kita lebih banyak tentang fungsi daripada yang mungkin kita kira. Pertama, perhatikan gambar berikut:

Apa yang dapat kita amati? Jika fungsi turun di suatu titik, garis singgung di titik itu juga turun (lebih tepatnya, fungsi yang grafiknya adalah garis singgung tersebut turun). Hal ini terlihat pada garis singgung b. Fungsi x² + 1 turun di titik B, dan garis singgung b juga turun. Sebaliknya, garis singgung a naik, dan terlihat bahwa fungsi x² + 1 juga naik di titik A. Garis singgung ketiga, c, sejajar dengan sumbu x, dan terlihat bahwa di tempat itu terdapat ekstrem, yaitu minimum.

Hal-hal ini terlihat sekilas, tetapi perlu dijelaskan lebih tepat. Kita mulai dengan fungsi naik dan fungsi turun. Jika garis singgung grafik fungsi di suatu titik naik, fungsi juga naik di titik tersebut. Kapan garis singgung naik? Garis singgung naik jika sudut yang dibentuknya dengan sumbu x positif terletak pada interval (0, 90) derajat. Garis singgung turun jika sudut yang dibentuknya dengan sumbu x positif terletak pada interval (90, 180) derajat. Perhatikan gambar berikut:

Sudut α jelas kurang dari 90° dan garis singgungnya naik. Sudut β lebih dari 90° dan garis singgungnya turun. Ini tentu sudah jelas. Sekarang kita kembali ke tangen. Kita perlu mengingat kembali cara menghitung tangen. Untuk itu kita memerlukan lingkaran satuan. Sudut-sudut yang kita inginkan kita gambarkan pada lingkaran satuan, dan menurut aturan tertentu lingkaran satuan memberikan nilai fungsi trigonometri. Nilai tangen ditunjukkan oleh ordinat titik potong kaki sudut dengan garis yang tegak lurus terhadap sumbu x dan melalui titik (1, 0). Berikut gambarnya:

Pada gambar terdapat lingkaran satuan berwarna biru dan dua garis, yaitu garis merah a dan garis hijau b. Kedua garis ini membentuk sudut α dan β dengan sumbu x positif. Tangen kedua sudut ini mudah dibaca dari gambar: kita tarik garis p yang tegak lurus terhadap sumbu x di titik (1, 0), yaitu garis abu-abu. Tangen sudut α sama dengan ordinat titik potong garis merah a dengan garis abu-abu p. Dengan kata lain, tangen sudut α sama dengan panjang ruas garis |BP|.

Hal yang sama berlaku untuk garis b dan sudut β. Tangen sudut β sama dengan ordinat titik potong garis b dengan garis p, yaitu negatif dari panjang ruas garis CP.

Seperti terlihat, tan(α) positif, sedangkan tan(β) negatif. Itulah yang kita cari. Dari gambar terlihat bahwa jika sudutnya terletak pada interval (0, 90), seperti sudut α, tangennya positif, dan jika sudutnya terletak pada interval (90, 180), seperti sudut β, tangennya negatif.

Bagaimana cara mudah mengetahui sudut antara garis singgung di suatu titik dan sumbu x positif? Dengan turunan. Turunan fungsi memberikan gradien garis singgung di titik tersebut, dan gradien garis singgung tidak lain adalah tangen sudut antara garis singgung dan sumbu x positif. Dengan kata lain, jika turunan pertama fungsi di suatu titik positif, fungsi naik di titik itu. Jika turunannya negatif, fungsi turun.

Jika f′(x) > 0, fungsi f naik di titik x. Jika f′(x) < 0, fungsi f turun di titik x.

Contoh: kita pakai lagi fungsi f(x) = x². Kita tahu bahwa turunan fungsi ini adalah f′(x) = 2x. Untuk semua titik yang memenuhi 2x < 0, fungsi turun, dan untuk semua titik yang memenuhi 2x > 0, fungsi naik. Ini pertidaksamaan sederhana, sehingga diperoleh interval (−∞, 0) tempat fungsi turun dan (0, ∞) tempat fungsi naik.