Analisis grafik fungsi: cekung ke atas dan cekung ke bawah

Kecekungan fungsi menyatakan ke arah mana grafik fungsi melengkung. Fungsi cekung ke atas (konveks, f'' > 0) grafiknya melengkung seperti huruf ∪, sedangkan fungsi cekung ke bawah (konkaf, f'' < 0) melengkung seperti huruf ∩. Titik tempat fungsi berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya disebut titik belok.

Apa itu fungsi cekung ke atas dan cekung ke bawah

Dari grafik biasanya langsung terlihat apakah fungsi cekung ke bawah atau cekung ke atas. Fungsi cekung ke atas tampak seperti “lembah”, sedangkan fungsi cekung ke bawah seperti bukit. Ada juga yang bilang: ke dalam grafik yang cekung ke atas, kamu bisa menuangkan kopi. Berikut tiga contoh fungsi yang sudah kita kenal.

Cara menentukan apakah fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah

Sekarang kita perlu mengetahui cara menentukan apakah fungsi cekung ke atas atau cekung ke bawah pada suatu interval. Untuk itu kita memerlukan gambar lain:

Fungsi kuadrat cekung ke atas pada seluruh daerah asalnya. Apa yang kamu perhatikan jika melihat semua garis singgung pada gambar? Untuk setiap garis singgung, semua titik grafik fungsi kuadrat terletak di atas garis singgung tersebut, kecuali satu titik tempat garis singgung menyinggung grafik. Kita dapat membuat gambar serupa untuk fungsi −x². Di sana keadaannya terbalik: semua titik terletak di bawah garis singgung.

Sebelum penjelasan berikutnya, perhatikan gambar berikut:

Fungsi f(x) = x² pada gambar cekung ke atas. Kita sudah tahu bahwa pada fungsi cekung ke atas semua titik grafik terletak di atas garis singgung. Hal itu terpenuhi di sini: ada garis singgung t, dan titik-titik grafik terletak di atas garis singgung itu. Sekarang pertanyaannya, bagaimana menghitung bahwa titik-titik tersebut terletak di atas garis singgung.

Diberikan titik x₀, dan di titik (x₀, f(x₀)) kita tarik garis singgung grafik, yaitu garis t. Pada gambar, titik dengan koordinat (x₀, f(x₀)) ditandai dengan titik merah T. Selanjutnya, pada sumbu x kita pilih titik lain x. Pada gambar, titik ini berwarna hijau. Untuk x harus berlaku bahwa titik (x, f(x)), yaitu titik hijau F pada gambar, terletak di atas garis singgung t. Karena fungsi x² cekung ke atas pada seluruh daerah asalnya, untuk setiap anggota x ∈ D_f titik (x, f(x)) harus terletak di atas garis singgung.

Bagaimana kita menuliskannya dalam rumus? Pada gambar ada garis singgung t. Bayangkan fungsi linear t(x) yang grafiknya adalah garis singgung t tersebut. Misalnya, nilai fungsinya di titik x₀, yaitu t(x₀), sama dengan f(x₀), karena di titik ini kedua fungsi bernilai sama (grafiknya mempunyai titik persekutuan di sana).

Sekarang kita dapat menyatakannya dengan rumus. Bagaimana menuliskan bahwa grafik suatu fungsi terletak di atas grafik fungsi lain? Cukup dengan f(x) > t(x). Lihat gambar: di titik x, garis singgung terletak di bawah grafik, karena f(x) > t(x).

Karena fungsi f diketahui, nilai f(x₀) dan f(x) juga diketahui. Untuk mengetahui apakah f(x) > t(x), kita cukup mengetahui panjang ruas garis ungu AB. Bagaimana cara mengetahuinya? Panjang ruas garis TA kita ketahui, yaitu |x − x₀|. Sayangnya, panjang ruas garis TB tidak kita ketahui. Namun, jika kita menghitung turunan fungsi di titik x₀, kita memperoleh gradien garis singgung, yaitu tangen sudut antara garis singgung dan sumbu x positif. Sudut ini sama besar dengan sudut ATB, karena keduanya sudut sehadap.

Sekarang panjang ruas garis TA dan besar sudut ATB sudah diketahui. Ingat, tangen menyatakan perbandingan sisi depan dan sisi samping, sehingga berlaku:

$$\tan (\sphericalangle ATB)=\frac{|AB|}{|TA|}$$

Kita mengetahui $\tan (\sphericalangle ATB)$ dan |TA|, dan ingin menghitung |AB|. Jadi, kita nyatakan |AB|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |TA|$$

Pertama, panjang |TA| kita ganti dengan |x − x₀|:

$$|AB|=\tan (\sphericalangle ATB)\cdot |x-x_0|$$

Lalu $\tan (\sphericalangle ATB)$ kita ganti dengan turunan fungsi f di titik x₀, yaitu f′(x₀):

$$|AB|=f^{\prime }(x_0)\cdot |x-x_0|$$

Dengan demikian, panjang ruas garis AB sudah kita hitung. Pada gambar, x > x₀ dan turunannya positif, tetapi secara umum kita menulis (x − x₀) sebagai ganti |x − x₀| agar tandanya benar. Jadi, kita dapat menuliskan: fungsi f cekung ke atas di titik x₀ jika terdapat persekitaran terhapus O titik x₀ sehingga untuk semua x dari persekitaran O ini berlaku:

$$f(x)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0).$$

Seluruh ruas kanan pertidaksamaan ini sebenarnya sama dengan nilai t(x). Jika kamu melihat gambar, dengan menambahkan panjang ruas garis AB pada f(x₀), kamu memperoleh t(x).

Cara menentukan titik belok

Tanpa pembuktian, kita nyatakan bahwa fungsi f(x) cekung ke atas di titik x₀ jika f′′(x₀)>0, dan cekung ke bawah jika f′′(x₀)<0. Dengan kata lain, jika turunan kedua di suatu titik positif, fungsi cekung ke atas di titik tersebut.

Seperti ekstrem fungsi memisahkan bagian fungsi yang turun dari bagian yang naik, titik belok memisahkan bagian yang cekung ke atas dari bagian yang cekung ke bawah. Jadi, titik belok adalah titik tempat fungsi berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya. Sebelumnya sudah kita katakan bahwa meskipun turunan pertama di suatu titik nol, belum tentu di titik itu ada ekstrem. Di titik itu bisa saja terdapat titik belok.

Apa yang harus berlaku di titik belok? Di titik itu fungsi berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah (atau sebaliknya), sehingga di titik tersebut tidak mungkin berlaku f′′(x)>0 ataupun f′′(x)<0. Jadi, jika fungsi mempunyai turunan kedua di titik itu, harus berlaku f′′(x) = 0. Jika f′′(x) = 0 dan sekaligus f′′′(x) ≠ 0, di titik x terdapat titik belok. Contoh:

Tentukan titik belok fungsi f(x) = x³. Grafiknya:

Kita hitung turunan pertama, kedua, dan ketiga:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{\prime }(x)& =& 3x^2\\ f^{\prime \prime }(x)& =& 6x\\ f^{\prime \prime \prime }(x)& =& 6\end{array}$$

Terlihat bahwa f′(x) = 0 untuk x = 0, dan juga f′′(0) = 0. Turunan kedua fungsi di titik 0 sama dengan nol, sedangkan turunan ketiganya positif, jadi bukan nol. Fungsi ini mempunyai titik belok di titik x = 0. Dari grafik terlihat bahwa di titik ini fungsi berubah dari cekung ke bawah menjadi cekung ke atas.