Analisis grafik fungsi: nilai ekstrem

Ekstrem fungsi adalah titik-titik tempat fungsi mencapai nilai terbesar atau terkecilnya.

Nilai ekstrem fungsi

Kita membedakan dua jenis dasar ekstrem, yaitu minimum dan maksimum. Selain itu, kita membedakan maksimum/minimum global (mutlak) dan maksimum/minimum lokal. Maksimum global adalah titik tempat fungsi mempunyai nilai terbesar di antara semua titik daerah asalnya. Jika nilai terbesar itu hanya dicapai di satu titik, kita menyebutnya maksimum tegas. Fungsi memang dapat mencapai nilai terbesarnya di beberapa titik, seperti dua karyawan yang sama-sama menerima gaji tertinggi Rp100 juta per bulan. Definisi minimum dan maksimum ada di artikel tentang fungsi.

Minimum lokal hanya didefinisikan pada sebagian daerah asal fungsi, biasanya pada suatu interval. Definisi maksimum dan minimum lokal:

• Fungsi f mempunyai maksimum lokal di titik M ∈ D_f jika terdapat persekitaran U = (M − ϵ, M + ϵ) dengan ϵ > 0 sedemikian sehingga untuk semua x ∈ U ∩ D_f berlaku f(x) ≤ f(M).
• Fungsi f mempunyai minimum lokal di titik m ∈ D_f jika terdapat persekitaran U = (m − ϵ, m + ϵ) dengan ϵ > 0 sedemikian sehingga untuk semua x ∈ U ∩ D_f berlaku f(x) ≥ f(m).

Contoh fungsi yang mempunyai tak hingga banyaknya ekstrem adalah fungsi f(x) = x · sin x:

Mengapa definisinya memuat “untuk semua x ∈ U ∩ D_f”, yaitu mengapa ada irisan dengan daerah asal? Salah satu alasannya: fungsi dengan grafik berikut…

…mempunyai minimum di titik m = 1, padahal di persekitaran kiri titik m = 1 fungsi ini sama sekali tidak terdefinisi, sehingga di persekitaran kiri itu tidak berlaku f(x) ≥ f(m). Jika persekitarannya kita iriskan dengan daerah asal, yang tersisa hanya persekitaran kanan.

Prinsip dasar menentukan ekstrem

Sekarang kita kembali ke grafik fungsi f(x) = x² + 1 dengan tiga garis singgung:

Kita perhatikan terutama garis singgung c. Garis singgung ini menyinggung grafik di titik minimum fungsi x² + 1 dan mendatar, yaitu sejajar dengan sumbu x. Jadi, garis singgung ini “membentuk” sudut 0° dengan sumbu x positif. Apa yang terjadi jika fungsinya kita balik sehingga fungsi mempunyai maksimum, bukan minimum? Grafik fungsi −x² + 1:

Perhatikan bahwa garis singgung c yang melalui titik maksimum fungsi −x² + 1 juga sejajar dengan sumbu x. Dari sini muncul suatu keteraturan: jika kita mencari minimum atau maksimum fungsi, kita mencari garis singgung yang sejajar dengan sumbu x, yaitu garis singgung yang tangen sudutnya terhadap sumbu x sama dengan nol. Dari gambar sebelumnya terlihat bahwa tan(0°) = 0. Dalam bahasa turunan, kita mencari titik yang turunannya sama dengan nol: f′(x) = 0.

Mari kita tentukan ekstrem fungsi kesayangan kita f(x) = x² + 1 dengan turunan. Turunan fungsi f adalah f′(x) = 2x. Selanjutnya kita cari kapan turunan pertama sama dengan nol, yaitu kita selesaikan persamaan f′(x) = 0; setelah substitusi diperoleh 2x = 0. Persamaan ini jelas dipenuhi oleh x = 0. Hasil ini sesuai dengan kenyataan bahwa fungsi f(x) = x² + 1 mempunyai minimum global di titik x = 0.

Pengecualian dari “aturan”

Kita mungkin tergoda untuk mengatakan bahwa fungsi mempunyai ekstrem di titik x jika dan hanya jika turunannya di titik itu sama dengan nol. Sayangnya, hal itu tidak benar; tidak sesederhana itu. Perhatikan contoh-contoh berikut:

• Mari kita cari ekstrem fungsi f(x) = x³. Turunan pertama fungsi ini adalah f′(x) = 3x². Kita selesaikan persamaan f′(x) = 0, yaitu 3x² = 0. Persamaan ini jelas dipenuhi oleh x = 0. Namun, apakah fungsi x³ mempunyai ekstrem di titik x = 0? Mari kita lihat grafiknya:

  

  Terlihat bahwa di titik x = 0 tidak ada ekstrem, baik global maupun lokal. Lalu mengapa turunannya di titik ini nol? Karena di titik ini garis singgung t memang sejajar dengan sumbu x, lihat gambar berikut:

  

• Bagaimana dengan fungsi f(x) = |x|, yaitu nilai mutlak dari x? Dari grafiknya terlihat bahwa fungsi ini mempunyai minimum global di titik x = 0:

  

  Namun, fungsi ini tidak mempunyai turunan di titik x = 0! Di titik x = 0 fungsi tidak mempunyai garis singgung, karena sulit dibayangkan seperti apa garis singgung itu.

Jadi, berlaku:

• Jika fungsi f mempunyai ekstrem di titik x, yaitu minimum atau maksimum, dan jika turunan di titik ini ada (!), turunan tersebut sama dengan nol. Dapat terjadi bahwa fungsi mempunyai ekstrem di titik x, tetapi tidak mempunyai turunan di titik tersebut.

• Jika turunan fungsi f di titik x sama dengan nol, di titik tersebut mungkin ada ekstrem, tetapi mungkin juga tidak.

Cara menentukan ekstrem fungsi

Kita anggap bahwa fungsi f yang diberikan dapat diturunkan pada seluruh daerah asalnya. Pada langkah pertama kita turunkan fungsi f sehingga diperoleh fungsi f′. Selanjutnya turunan pertama kita samakan dengan nol, yaitu kita selesaikan persamaan f′(x) = 0. Penyelesaian persamaan ini adalah titik-titik yang “dicurigai” sebagai ekstrem, yang disebut titik stasioner.

Selanjutnya kita harus menentukan titik stasioner mana yang merupakan ekstrem. Hal ini dapat diketahui, misalnya, dari turunan kedua fungsi f. Misalkan s titik stasioner, yaitu f′(s) = 0. Jika f′′(s) > 0, di titik s terdapat minimum, sedangkan jika f′′(s) < 0, di titik s terdapat maksimum.

Jika turunan kedua di titik itu juga nol, kita harus mencari turunan yang lebih tinggi; hal ini dibahas nanti. Sekarang contohnya. Diberikan fungsi f(x) = 3x² + 6x. Tentukan ekstremnya.

Kita hitung turunan pertamanya: f′(x) = 6x + 6. Turunan pertama kita samakan dengan nol:

$$\begin{array}{rcl}6x+6& =& 0\\ x+1& =& 0\\ x& =& -1\end{array}$$

Jadi, di titik x = −1 terdapat titik stasioner, yaitu titik yang dicurigai sebagai ekstrem. Kita hitung turunan keduanya: f′′(x) = 0x + 6. Setelah x = −1 disubstitusikan, diperoleh f′′(−1) = 6. Hasilnya positif, sehingga fungsi mempunyai minimum di titik tersebut. Grafiknya:

Bagaimana jika turunan kedua juga nol?

Mari kita cari ekstrem fungsi f(x) = x⁴. Grafiknya:

Turunan pertama fungsi ini adalah f′(x) = 4x³. Penyelesaian persamaan f′(x) = 0 tentu hanya satu titik stasioner, yaitu s = 0. Kita hitung turunan kedua, yaitu f′′(x) = 12x². Titik stasioner s kita substitusikan ke turunan kedua ini, sehingga diperoleh

$$f^{\prime \prime }(0)=12\cdot 0^2=0.$$

Hasilnya nol, dan dengan apa yang sudah kita bahas, kita tidak dapat mengetahui apakah di titik tersebut ada ekstrem atau tidak. Namun, dari grafik terlihat bahwa di titik itu ada ekstrem. Jika situasi seperti ini terjadi, kita turunkan lagi. Kita cari turunan ketiga dan substitusikan titik stasioner s. Jika hasilnya bukan nol, di titik s terdapat titik belok (dibahas nanti). Jika hasilnya nol, kita turunkan lagi. Pada turunan keempat kita memutuskan dengan cara yang sama seperti pada turunan kedua: substitusikan titik stasioner. Nilai positif berarti di sana ada minimum, dan nilai negatif berarti ada maksimum.

Turunan ketiga adalah f′′′(x) = 24x. Setelah substitusi diperoleh f′′′(0) = 0, sehingga kita turunkan lagi. Turunan keempat adalah f′′′′(x) = 24. Turunan keempat selalu positif, sehingga, seperti pada turunan kedua, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi mempunyai minimum di titik s = 0. Dan memang benar demikian.

Ringkasan langkah menentukan ekstrem fungsi

1. Diberikan fungsi f yang dapat diturunkan.

2. Turunkan fungsi f.

3. Selesaikan persamaan f′(x) = 0. Semua s yang merupakan penyelesaian persamaan ini disebut titik stasioner, yaitu titik yang dicurigai sebagai ekstrem.

4. Hitung turunan kedua.

5. Hitung nilai turunan kedua di semua titik stasioner s. Jika f′′(s) > 0, fungsi mempunyai minimum di titik s; jika f′′(s) < 0, di titik s terdapat maksimum. Jika f′′(s) = 0, turunkan lagi.

   Tip: jika kamu tidak ingin menghafal apakah turunan kedua harus positif atau negatif agar di suatu titik terdapat maksimum atau minimum, simpulkan sendiri aturannya, misalnya dari fungsi x². Grafik fungsi ini tentu sudah kamu kenal, dan turunan pertama serta keduanya sederhana: f′(x) = 2x dan f′′(x) = 2. Turunan keduanya selalu positif, dan fungsi x² mempunyai minimum di titik x = 0.

6. Hitung turunan ketiga. Jika f′′′(s) ≠ 0, di titik s terdapat titik belok; jika tidak, turunkan lagi.

7. Hitung turunan keempat. Jika f′′′′(s) ≠ 0, di titik tersebut terdapat ekstrem. Jika tidak, turunkan lagi.

8. Begitu seterusnya. Jika turunan pertama yang tidak nol adalah turunan berorde ganjil, titik tersebut adalah titik belok. Jika turunan pertama yang tidak nol berorde genap, titik tersebut adalah ekstrem.