함수의 그래프 개형: 증가와 감소

함수의 그래프 개형을 그릴 때는 여러 가지 가운데 함수가 어느 구간에서 증가하고 어느 구간에서 감소하는지도 알아낸다. 이때 함수의 미분이 큰 도움이 된다.

함수의 증가와 감소를 알아내는 방법

점에서의 접선의 기울기, 즉 점에서의 함수의 미분계수는 생각보다 많은 것을 알려 준다. 먼저 다음 그림을 보자.

무엇을 알 수 있을까? 함수가 어떤 점에서 감소하면 그 점에서의 접선도 감소한다(정확히는 그 접선을 나타내는 함수가 감소한다). 접선 b에서 알 수 있다. 함수 x² + 1은 점 B에서 감소하고, 접선 b도 감소한다. 반대로 접선 a는 증가하고, 함수 x² + 1도 점 A에서 증가한다는 것을 알 수 있다. 세 번째 접선 c는 x축에 평행하고, 이곳에 극값, 정확히는 극소가 있다는 것을 알 수 있다.

이것은 한눈에 보이는 것들이지만 더 정확히 해야 한다. 증가함수와 감소함수부터 시작하자. 어떤 점에서 함수의 접선이 증가하면 함수도 그 점에서 증가한다. 접선은 언제 증가할까? 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각이 (0°, 90°) 사이에 있으면 접선은 증가한다. 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각이 (90°, 180°) 사이에 있으면 접선은 감소한다. 다음 그림을 보자.

각 α는 분명히 90°보다 작고 접선은 증가한다. 각 β는 90°보다 크고 접선은 감소한다. 이것은 분명할 것이다. 이제 탄젠트로 돌아가자. 탄젠트를 어떻게 구하는지 복습해야 한다. 이를 위해 단위원이 필요하다. 단위원 위에 원하는 각을 잡으면 단위원은 어떤 규칙에 따라 삼각함수의 값을 돌려준다. 탄젠트의 값은 각의 변이 점 (1, 0)에서 x축에 그은 수선과 만나는 점의 y좌표로 나타난다. 그림은 다음과 같다.

그림에는 파란 단위원과 두 직선, 빨간 직선 a와 초록 직선 b가 있다. 이 직선들은 x축의 양의 방향과 각 α와 β를 이룬다. 그림에서 이 각들의 탄젠트를 쉽게 읽을 수 있다. 점 (1, 0)에서 x축에 수선 p를 긋는다. 이것이 회색 직선이다. 그러면 각 α의 탄젠트는 빨간 직선 a와 회색 직선 p의 교점의 y좌표와 같다. 다시 말해 각 α의 탄젠트는 선분의 길이 $\overline{BP}$와 같다.

직선 b와 각 β도 마찬가지이다. 각 β의 탄젠트는 직선 b와 직선 p의 교점의 y좌표와 같다. 즉 선분 CP의 길이에 마이너스를 붙인 값이다.

보다시피 tan(α)는 양수이고 tan(β)는 음수이다. 이것이 우리가 찾던 것이다. 그림에서 알 수 있듯이 각이 구간 (0, 90)에 있으면(각 α가 그렇다) 그 각의 탄젠트는 양수이고, 구간 (90, 180)에 있으면(각 β가 그렇다) 음수이다.

그러면 어떤 점에서 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각은 어떻게 쉽게 알아낼까? 미분을 이용한다. 함수의 미분계수는 그 점에서의 접선의 기울기를 알려 주고, 접선의 기울기는 접선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 탄젠트와 같다. 다시 말해 어떤 점에서 함수의 일계도함수가 양수이면 함수는 증가하고, 음수이면 감소한다.

f′(x) > 0이면 함수 f는 점 x에서 증가한다. f′(x) < 0이면 함수 f는 점 x에서 감소한다.

예: 이번에도 함수 f(x) = x²을 보자. 이 함수의 도함수는 함수 f′(x) = 2x이다. 2x < 0인 모든 점에서 함수는 감소하고, 2x > 0인 모든 점에서 함수는 증가한다. 간단한 부등식이므로 감소하는 구간 (−∞, 0)과 증가하는 구간 (0, ∞)를 얻는다.