Lingkaran satuan

Lingkaran satuan adalah lingkaran biasa yang tidak berdimensi; lebih tepatnya, jari-jarinya sama dengan satu. Lingkaran satuan berguna untuk menggambarkan definisi fungsi-fungsi trigonometri dengan jelas.

Apa itu lingkaran satuan

Lingkaran satuan adalah lingkaran dengan jari-jari sepanjang satu dan pusat di titik asal bidang koordinat, yaitu di titik (0, 0). Perhatikan gambar berikut:

Lingkaran ini dibagi menjadi empat bagian yang disebut kuadran. Kanan atas adalah kuadran I, kiri atas kuadran II, kiri bawah kuadran III, dan kanan bawah kuadran IV. Karena lingkaran ini akan kita pakai untuk menggambarkan sudut, besar sudut dalam derajat ditandai pada lingkaran. Di tempat sudut nol derajat biasanya terletak kaki awal sudut, yang kemudian berputar berlawanan arah jarum jam. Karena itu, titik (0, 1) ditandai dengan sudut siku-siku.

Definisi sinus dan kosinus pada lingkaran

Fungsi-fungsi trigonometri dapat digambarkan dengan sangat jelas pada lingkaran satuan. Pertama, kita gambar suatu sudut pada lingkaran satuan, lalu kita tunjukkan di mana nilai setiap fungsi dapat dibaca.

Pada lingkaran kita gambar sudut AOB (merah). Sudut ini kita namai alfa. Kaki-kaki sudut memotong lingkaran satuan di dua titik, yaitu A dan B. Yang penting bagi kita adalah titik B. Jika melalui titik B kita tarik garis yang sejajar dengan sumbu x (pada gambar berupa garis mendatar putus-putus), garis ini memotong sumbu y tepat di satu titik. Titik ini kita namai P_s. Panjang ruas garis OP_s (ruas garis hijau) sama dengan sinus sudut alfa.

Karena kita bekerja pada lingkaran satuan yang berpusat di titik asal, panjang ruas garis OP_s (ruas garis hijau) sama dengan koordinat y titik P_s, yang sama dengan koordinat y titik B.

Pada lingkaran yang sama kita juga dapat membaca nilai kosinus. Kita tarik garis yang sejajar dengan sumbu y melalui titik B. Garis ini memotong sumbu x di titik yang kita namai P_c. Panjang ruas garis OP_c sama dengan kosinus sudut alfa. Sekali lagi, nilai ini sama dengan koordinat x titik B dan titik P_c.

Definisi tangen dan kotangen

Seperti sinus dan kosinus, tangen dan kotangen juga dapat didefinisikan pada lingkaran satuan. Agar jelas, pertama kita tunjukkan letak tangen pada lingkaran satuan. Untuk itu kita memerlukan satu garis lagi, yaitu garis yang sejajar dengan sumbu y dan melalui titik A, atau titik (1, 0). Pada gambar berikut, garis ini berwarna biru:

Garis ini memotong sinar garis (kaki sudut) OB di satu titik, yang kita namai P_t. Panjang ruas garis AP_t sama dengan tangen sudut alfa. Sekali lagi, cukup ambil koordinat y titik P_t, dan kita memperoleh tangen sudut alfa.

Untuk menggambarkan kotangen pada lingkaran satuan, kita memerlukan satu garis lagi. Kali ini garis itu melalui titik (0, 1) dan sejajar dengan sumbu x. Garis ini juga ditandai dengan warna biru:

Garis ini memotong sinar garis (kaki sudut) OB di satu titik, yang kita namai P_k. Panjang ruas garis CP_k sama dengan kotangen sudut alfa. Seperti biasa, kita cukup mengambil koordinat x titik P_k, dan kita memperoleh kotangen sudut tersebut.

Pertanyaannya, apa yang terjadi jika sudut alfa lebih besar daripada 90 derajat untuk tangen, atau lebih besar daripada 180 derajat untuk kotangen? Dalam kasus-kasus ini garisnya tidak memotong kaki sudut, seperti terlihat pada gambar berikut:

Dalam keadaan ini, sinar garis OB kita perpanjang menjadi garis, dan garis ini memotong garis p.

Untuk tangen kita bekerja dengan cara yang serupa.

Kapan tangen dan kotangen tidak terdefinisi

Pada lingkaran satuan kita dapat melihat satu hal yang menarik. Jika sudut alfa sama dengan 180 derajat, garis p dan kaki sudut tidak pernah berpotongan karena keduanya sejajar. Bagaimana mengatasi masalah ini? Tidak bisa: kotangen 180 derajat tidak terdefinisi. Demikian pula, tangen 90 derajat tidak terdefinisi, karena kaki sudutnya sejajar dengan sumbu y, sehingga juga sejajar dengan garis yang seharusnya dipotongnya. Gambar berikut menunjukkan hal ini untuk kotangen.