Изследване на функция: монотонност

При изследването на функция установяваме между другото и в кои интервали функцията е растяща или намаляваща. За целта ни служи производната на функцията.

Как да установим монотонността на функция

Ъгловият коефициент на допирателната в точка, т.е. производната на функцията в точка, ни казва за функцията повече, отколкото изглежда. Първо разгледай следния чертеж:

Какво можем да забележим сега – ако функцията в дадена точка е намаляваща, то намалява и допирателната в тази точка (по-точно намалява функцията, която би описвала дадената допирателна). Това се вижда при допирателната b. Функцията x² + 1 е в точката B намаляваща и допирателната b също е намаляваща. Обратно, допирателната a е растяща и виждаме, че и функцията x² + 1 е в точката A растяща. Третата допирателна c е успоредна на оста x и виждаме, че на това място има екстремум – конкретно минимум.

Това са неща, които се виждат от пръв поглед, но трябва още да ги уточним. Започваме с растящата и намаляващата функция. Ако допирателната на функцията в точка е растяща, то и функцията в тази точка е растяща. Кога допирателната е растяща? Допирателната е растяща, ако ъгълът, който сключва с положителната полуос x, е в интервала (0; 90) градуса. Допирателната е намаляваща, ако ъгълът, който сключва с положителната полуос x, е в интервала (90; 180) градуса. Разгледай следния чертеж:

Ъгълът α със сигурност е по-малък от 90 градуса и допирателната е растяща. Ъгълът β е по-голям от 90 градуса и допирателната намалява. Това би трябвало да е ясно. Сега обратно към тангенса. Трябва да си припомним как се пресмята тангенс. За целта ще ни трябва единичната окръжност. Върху единичната окръжност нанасяме нашите ъгли и единичната окръжност ни връща по определени правила стойностите на тригонометричните функции. Стойността на тангенса се изобразява като y-координата на пресечната точка на рамото на ъгъла с перпендикуляра към оста x, прекаран в точката (1; 0). Следва чертежът:

На чертежа имаме синята единична окръжност и две прави, червена права a и зелена b. Тези прави образуват с положителната полуос x ъглите α и β. От чертежа лесно можем да прочетем тангенса на тези ъгли: прекарваме перпендикуляр p към оста x в точката (1; 0). Това е сивата права. Тогава тангенсът на ъгъл α е равен на y-координатата на пресечната точка на червената права a със сивата права p. С други думи: тангенсът на ъгъл α е равен на дължината на отсечката |BP|.

Същото за правата b и ъгъл β. Тангенсът на ъгъл β е равен на y-координатата на пресечната точка на правата b с правата p. Т.е. на отрицателната дължина на отсечката CP.

Както виждаш, tg(α) ще е положителен, докато tg(β) е отрицателен. И това търсехме. Както се вижда от чертежа, ако ъгълът е в интервала (0; 90), какъвто е ъгъл α, то тангенсът на този ъгъл е положителен, а ако е от интервала (90; 180), какъвто е ъгъл β, е отрицателен.

Как сега просто да установим какъв ъгъл сключва допирателната в дадена точка с положителната полуос x? С помощта на производните. Производната на функцията ни дава ъгловия коефициент на допирателната в дадената точка, а ъгловият коефициент на допирателната е тангенсът на ъгъла, който допирателната сключва с положителната полуос x. С други думи, ако в дадена точка първата производна на функцията е положителна, функцията е растяща. Ако е отрицателна, е намаляваща.

Ако f′(x) > 0, функцията f е в точката x растяща. Ако f′(x) < 0, функцията f е в точката x намаляваща.

Пример: отново си помагаме с функцията f(x) = x². Знаем, че производната на тази функция е функцията f′(x) = 2x. За всички точки, за които е изпълнено 2x < 0, функцията е намаляваща, а за всички 2x > 0 функцията е растяща. Това са прости неравенства, така че получаваме интервалите (−∞; 0) за намаляваща и (0; +∞) за растяща.