Khảo sát hàm số: tính đơn điệu

Khi khảo sát sự biến thiên của hàm số, một trong những điều ta cần xác định là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên những khoảng nào. Để làm việc này, đạo hàm của hàm số rất có ích.

Cách xét tính đơn điệu của hàm số

Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm, tức là đạo hàm của hàm số tại điểm đó, cho ta biết về hàm số nhiều hơn ta tưởng. Trước hết hãy xem hình sau:

Ta có thể nhận thấy: nếu hàm số nghịch biến tại một điểm thì tiếp tuyến tại điểm đó cũng “đi xuống” (chính xác hơn, hàm số bậc nhất có đồ thị là tiếp tuyến đó nghịch biến). Điều này thấy rõ ở tiếp tuyến b. Hàm số x² + 1 nghịch biến tại điểm B và tiếp tuyến b cũng đi xuống. Ngược lại, tiếp tuyến a đi lên và ta thấy hàm số x² + 1 cũng đồng biến tại điểm A. Tiếp tuyến thứ ba c song song với trục hoành, và ta thấy tại chỗ này có cực trị, cụ thể là cực tiểu.

Đó là những điều nhìn qua là thấy, nhưng cần nói chính xác hơn. Ta bắt đầu với hàm số đồng biến và nghịch biến. Nếu tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm đi lên thì hàm số cũng đồng biến tại điểm đó. Khi nào tiếp tuyến đi lên? Tiếp tuyến đi lên nếu góc mà nó tạo với chiều dương của trục Ox nằm trong khoảng (0°; 90°). Tiếp tuyến đi xuống nếu góc mà nó tạo với chiều dương của trục Ox nằm trong khoảng (90°; 180°). Hãy xem hình sau:

Góc α chắc chắn nhỏ hơn 90° và tiếp tuyến đi lên. Góc β lớn hơn 90° và tiếp tuyến đi xuống. Điều này hẳn đã rõ. Bây giờ quay lại với tang. Ta cần nhắc lại cách xác định tang. Muốn vậy ta cần đường tròn lượng giác. Trên đường tròn lượng giác ta biểu diễn các góc cần xét, và theo một số quy tắc, đường tròn lượng giác cho ta giá trị của các hàm số lượng giác. Giá trị của tang được biểu diễn bằng tung độ giao điểm giữa tia cuối của góc và đường thẳng vuông góc với trục hoành tại điểm (1; 0). Hình minh hoạ như sau:

Trên hình có đường tròn lượng giác màu xanh dương và hai đường thẳng: đường thẳng a màu đỏ và đường thẳng b màu xanh lá. Hai đường thẳng này tạo với chiều dương của trục Ox các góc α và β. Từ hình vẽ dễ đọc được tang của các góc này: dựng đường thẳng p vuông góc với trục hoành tại điểm (1; 0). Đó là đường thẳng màu xám. Tang của góc α bằng tung độ giao điểm của đường thẳng a màu đỏ với đường thẳng p màu xám. Nói cách khác: tang của góc α bằng độ dài đoạn thẳng BP.

Tương tự với đường thẳng b và góc β. Tang của góc β bằng tung độ giao điểm của đường thẳng b với đường thẳng p, tức là bằng số đối của độ dài đoạn thẳng CP.

Như bạn thấy, tan(α) dương còn tan(β) âm. Đó chính là điều ta cần. Từ hình ta thấy nếu góc thuộc khoảng (0; 90) độ, như góc α, thì tang của nó dương; nếu góc thuộc khoảng (90; 180) độ, như góc β, thì tang của nó âm.

Vậy làm thế nào xác định nhanh góc mà tiếp tuyến tại một điểm tạo với chiều dương của trục Ox? Nhờ đạo hàm. Đạo hàm của hàm số cho ta hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó, mà hệ số góc của tiếp tuyến chính là tang của góc mà tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục Ox. Nói cách khác, nếu đạo hàm cấp một của hàm số tại một điểm dương thì hàm số đồng biến tại đó. Nếu đạo hàm âm thì hàm số nghịch biến.

Nếu f′(x) > 0 thì hàm số f đồng biến tại điểm x. Nếu f′(x) < 0 thì hàm số f nghịch biến tại điểm x.

Ví dụ: ta lại nhờ đến hàm số f(x) = x². Ta biết đạo hàm của hàm số này là f′(x) = 2x. Tại mọi điểm có 2x < 0 hàm số nghịch biến, tại mọi điểm có 2x > 0 hàm số đồng biến. Đây là các bất phương trình đơn giản, ta được khoảng (−∞; 0) là khoảng nghịch biến và khoảng (0; +∞) là khoảng đồng biến.