Phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến số là một phương pháp rất hiệu quả để tìm nguyên hàm. Trong quá trình tìm nguyên hàm, ta thay một phần của hàm số bằng một hàm số khác, tìm nguyên hàm, rồi thay trở lại.

Công thức cơ bản

Cho hàm số f có nguyên hàm F trên khoảng J. Cho hàm số thực ϕ có đạo hàm trên khoảng I, đồng thời ϕ(I) ⊆ J. Khi đó

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

Làm sao đi từ vế trái sang vế phải?

Ta sẽ dùng định lí này như sau: chọn phép đổi biến x = ϕ(t) và đổi biến lấy tích phân, từ dt sang dx. Đạo hàm của x theo t là $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$, nên dx = ϕ′(t) dt. Ta biến đổi nguyên hàm ở vế trái bằng cách thay ϕ(t) bởi x và thay cả tích ϕ′(t) dt bởi dx:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

Theo giả thiết, F là nguyên hàm của hàm số f, nên có thể thay cả nguyên hàm bằng hàm số F:

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

Cuối cùng ta trở lại biến ban đầu, thay x bằng ϕ(t):

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

Như vậy ta được đẳng thức ở đầu mục:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

Khi giải bài tập, ta cũng dùng định lí này gần như theo các bước trên.

Ví dụ 1

Tìm nguyên hàm sau:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Ta biết công thức nguyên hàm của sin x (hay ở đây là sin t), nhưng không biết công thức cho sin 6t. Vì thế ta đổi biến. Ta đặt x = 6t. Theo công thức trên:

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

với x = ϕ(t). Trong trường hợp cụ thể này, f = sin và ϕ(t) = 6t. Vậy theo công thức ta có hệ thức:

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

với x = 6t. Vấn đề là ta cần tìm nguyên hàm của sin 6t, chứ không phải của (sin 6t) · (6t)′. Phải xử lí thế nào? Ta thử lấy đạo hàm của hàm số 6t. Ta được:

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Số 6 là hằng số, có thể đưa ra ngoài dấu tích phân:

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

Bây giờ chia hai vế cho 6:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

Ở vế trái đã là hàm số ban đầu mà ta cần tìm nguyên hàm. Chỉ còn tính nguyên hàm ở vế phải. Nguyên hàm của sin x bằng −cos x:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

Và thay ngược x bằng 6t:

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

Đó là kết quả cuối cùng.

Ví dụ 1, cách viết gọn hơn

Cách làm trên đúng, nhưng thường phép đổi biến được viết hơi khác. Nhắc lại đề bài:

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

Ta ghi phép đổi biến trong ngoặc sau dấu tích phân như sau:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

Ở dòng thứ nhất ta viết phép đổi biến, tức là x = 6t. Bây giờ lấy đạo hàm hai vế: vế trái theo x, vế phải theo t. Ở dòng thứ hai của cột thứ nhất luôn là dx, vì đạo hàm của x luôn bằng 1. Biểu thức dx chỉ cho biết ta lấy đạo hàm theo x.

Vế phải ta lấy đạo hàm hoàn toàn bình thường theo t. Ta được (6t)′ = 6 và viết thêm dt, vì ta lấy đạo hàm theo t. Để đỡ việc, có thể ghi thêm dt đã được rút ra:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

Ở bước tiếp theo ta thực hiện phép đổi biến. Thay cái gì bằng cái gì? Ta muốn có x thay cho 6t, đó là phép thay thứ nhất. Vì đưa biến mới x vào hàm số nên đồng thời phải đổi cả dt. Ta thay dt bằng giá trị đã rút ra ở dòng thứ ba, tức là dx/6.

Tóm lại: thay 6t bằng x (dòng thứ nhất) và thay dt bằng dx/6 (dòng thứ ba). Ta được:

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

Từ đây làm hoàn toàn bình thường. Đưa số 6 ra ngoài dấu tích phân:

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

Tìm nguyên hàm của sin:

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

Và thay ngược x bằng 6t:

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

Ví dụ 2

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số:

$$\int \tan t\text{ d}t$$

Nguyên hàm của tang có lẽ có trong bảng nào đó, nhưng ta hoàn toàn có thể tự tính. Trước hết viết tang thành thương sin/cos:

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

Ta đặt x = cos t. Ta được:

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

Bây giờ rút dt:

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

Giờ có thể thay vào nguyên hàm: thay cos t bằng x và thay dt bằng −dx/sin t.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

Có một trở ngại nhỏ là trong biểu thức vẫn còn biến lấy tích phân cũ t, nằm trong sin. May là hai sin rút gọn cho nhau và còn lại:

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

Ta viết lại một chút cho gọn: chuyển dx ra sau phân thức và ghi số 1 ở tử. Dấu trừ đưa ra trước dấu tích phân:

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

Nguyên hàm của 1/x ta đã biết, đó là lôgarit. Vậy ta được:

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

Và thay ngược x bằng cos t.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

Ví dụ 3

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Có thể bạn bị rối vì dưới dấu tích phân có hai biến: x và t. Điều đó hoàn toàn không sao, vì nhờ dt ta biết mình lấy nguyên hàm theo biến t, còn x được coi là hằng số. Vậy cứ mạnh dạn đưa x ra trước dấu tích phân:

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

Công thức cho sin³ thì không có mấy, nhưng cho sin² thì có, nên ta viết lại hàm số như sau:

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

Bây giờ thay sin² theo công thức sin²t = (1 − cos²t). Ta được nguyên hàm:

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

Bây giờ ta đổi biến. Chữ x đã dùng rồi, nên ta dùng chẳng hạn y, và đặt y = cos t

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

Rút dt:

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

Và thay vào nguyên hàm:

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

Hai sin lại rút gọn cho nhau:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

Nguyên hàm này có thể tách thành hai nguyên hàm:

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

Đây đều là các nguyên hàm có trong bảng:

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

Bây giờ thay ngược y bằng cos t:

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

Đó là kết quả cuối cùng.