치환적분법

치환적분법은 적분할 때 아주 효과적인 방법이다. 적분하는 동안 함수의 일부를 다른 함수로 바꾸고, 적분한 다음 다시 원래대로 바꾼다.

기본 공식

구간 J에서 함수 f와 그 부정적분 F가 있다고 하자. 또 구간 I에서 미분가능하고 ϕ(I) ⊆ J인 실수 함수 ϕ가 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=F(\varphi (t)).$$

좌변에서 우변으로는 어떻게 왔을까?

이 정리는 치환 x = ϕ(t)를 정하고 적분변수를 바꾸는 식으로, 즉 dt에서 dx를 얻는 식으로 쓴다. x를 t에 대해 미분하면 $\frac{dx}{dt}={\varphi }^{\prime }(t)$이므로 dx = ϕ′(t) dt이다. 그래서 좌변의 적분에서 ϕ(t)를 x로, 곱 ϕ′(t) dt 전체를 dx로 바꾼다.

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x$$

또 가정에 따라 F는 함수 f의 부정적분이므로 적분 전체를 함수 F로 바꿀 수 있다.

$$\int f(x)\text{ d}x=F(x)$$

마지막으로 치환을 되돌린다. x 대신 원래의 ϕ(t)를 쓴다.

$$F(x)=F(\varphi (t))$$

이렇게 처음의 등식을 얻었다.

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\dots =F(\varphi (t)).$$

이 정리는 대략 이런 식으로 쓴다.

첫 번째 예제

다음 적분을 구하시오.

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

sin x(여기서는 sin t)의 적분 공식은 알지만 sin 6t의 공식은 모른다. 그래서 치환을 쓴다. x = 6t로 치환한다. 앞의 공식에 따라 다음이 성립한다.

$$\int f(\varphi (t))\cdot {\varphi }^{\prime }(t)\text{ d}t=\int f(x)\text{ d}x,$$

여기서 x = ϕ(t)이다. 이 경우에는 f = sin이고 ϕ(t) = 6t이다. 따라서 공식에 따라 다음 관계가 성립한다.

$$\int (\sin 6t)\cdot (6t{)}^{\prime }\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

여기서 x = 6t이다. 문제는 구하려는 것이 적분 (sin 6t) · (6t)′이 아니라 sin 6t의 적분이라는 것이다. 어떻게 할까? 함수 6t를 미분해 보자. 그러면 다음을 얻는다.

$$\int (\sin 6t)\cdot 6\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

6은 상수이므로 적분 기호 밖으로 꺼낼 수 있다.

$$6\cdot \int (\sin 6t)\text{ d}t=\int \sin x\text{ d}x,$$

이제 등식 전체를 6으로 나눈다.

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot \int \sin x\text{ d}x,$$

좌변에는 이제 처음에 구하려던 원래 함수가 있다. 우변의 적분만 구하면 된다. sin x의 적분은 −cos x이다.

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x),$$

그리고 x에 다시 6t를 대입한다.

$$\int (\sin 6t)\text{ d}t=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c,$$

이것으로 결과가 나왔다.

첫 번째 예제를 더 간단히

앞의 방법은 옳지만, 보통은 치환을 조금 다르게 쓴다. 다시 문제를 보자.

$$\int \sin 6t\text{ d}t$$

치환은 적분 뒤의 괄호 안에 다음과 같이 쓴다.

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]$$

첫째 줄에는 치환, 즉 x = 6t를 쓴다. 이제 양변을 미분한다. 좌변은 x에 대해, 우변은 t에 대해 미분한다. 첫째 열의 둘째 줄에는 언제나 dx가 있다. x의 도함수는 언제나 1이기 때문이다. 식 dx는 x에 대해 미분했다는 것을 나타낼 뿐이다.

우변은 보통처럼 t에 대해 미분한다. (6t)′ = 6을 얻고, t에 대해 미분했으므로 dt를 덧붙인다. 일을 덜고 싶다면 dt에 대해 정리한 식도 적어 둔다.

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\\ \frac{dx}{6}=dt\end{array}\right]$$

다음 단계에서 실제로 치환한다. 무엇을 무엇으로 바꿀까? 6t 대신 x를 쓰고 싶으므로 이것이 첫 번째 치환이다. 함수에 새 변수 x를 대입하므로 dt도 바꿔야 한다. dt 대신 셋째 줄에서 정리한 값, 즉 $\frac{1}{6}dx$를 대입한다.

정리하면, 6t 대신 x를 쓰고(첫째 줄) dt 대신 $\frac{1}{6}dx$를 쓴다(셋째 줄). 그러면 다음을 얻는다.

$$\int \sin 6t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=6t\\ dx=6dt\end{array}\right]=\int \sin x\frac{dx}{6}$$

여기서부터는 보통과 같다. 6을 적분 기호 밖으로 꺼낸다.

$$\int \sin x\frac{dx}{6}=\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx$$

사인을 적분한다.

$$\frac{1}{6}\cdot \int \sin xdx=\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)$$

그리고 x에 다시 식 6t를 대입한다.

$$\frac{1}{6}\cdot (-\cos x)=-\frac{1}{6}\cdot \cos 6t+c$$

두 번째 예제

치환적분법으로 다음 적분을 구하시오.

$$\int \tan t\text{ d}t$$

탄젠트의 적분은 아마 표에서 찾을 수 있겠지만, 직접 구해도 된다. 먼저 탄젠트를 몫 sin/cos으로 나타낸다.

$$\int \tan t\text{ d}t=\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t$$

치환은 x = cos t로 한다. 그러면 다음을 얻는다.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]$$

이제 dt에 대해 정리한다.

$$dt=-\frac{dx}{\sin t}$$

이제 적분에 대입할 수 있다. cos t 대신 x를, dt 대신 −dx/sin t를 쓴다.

$$\int \frac{\sin t}{\cos t}\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}x=\cos t\\ dx=-\sin t\text{ d}t\end{array}\right]=\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}$$

작은 문제는 식에 이전 적분변수 t가 사인 안에 남아 있다는 것이다. 다행히 두 사인이 약분되어 다음이 남는다.

$$\int -\frac{\sin t}{x}\cdot \frac{dx}{\sin t}=\int -\frac{dx}{x}$$

더 보기 좋은 식이 되도록 조금 풀어 쓴다. dx를 분수 뒤로 옮기고 분자에 1을 쓴다. 마이너스는 적분 기호 앞으로 옮긴다.

$$\int -\frac{dx}{x}=-\int \frac{1}{x}\text{ d}x$$

1/x의 적분은 이미 안다. 로그이다. 그래서 다음을 얻는다.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|$$

그리고 x에 다시 원래의 cos t를 대입한다.

$$-\int \frac{1}{x}\text{ d}x=-\ln |x|=-\ln |\cos t|+c$$

세 번째 예제

치환적분법으로 다음 적분을 구하시오.

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

피적분함수에 변수가 x와 t 두 개 있어서 헷갈릴 수 있다. 전혀 상관없다. dt를 보면 변수 t에 대해 적분한다는 것을 알 수 있고, x는 상수로 다룬다. 그러니 겁내지 말고 x를 적분 기호 앞으로 옮기자.

$$\int x\cdot {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t$$

sin³의 공식은 별로 없지만 sin²에 대해서는 찾을 수 있으므로 함수를 다음과 같이 바꾼다.

$$x\cdot \int {\sin }^{3}t\text{ d}t=x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t$$

이제 sin²을 공식 sin²t = (1 − cos²t)에 따라 풀어 쓴다. 그러면 다음 적분을 얻는다.

$$x\cdot \int {\sin }^{2}t\cdot \sin t\text{ d}t=x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t$$

이제 치환한다. 변수 x는 이미 쓰고 있으므로 예를 들어 y를 쓴다. 그리고 y = cos t로 정한다.

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]$$

dt에 대해 정리한다.

$$dt=-\frac{dy}{\sin t}$$

그리고 적분에 대입한다.

$$x\cdot \int (1-{\cos }^{2}t)\cdot \sin t\text{ d}t=\left[\begin{array}{c}y=\cos t\\ dy=-\sin tdt\end{array}\right]=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}$$

이번에도 사인이 깔끔하게 약분된다.

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot \sin t\cdot \frac{dy}{\sin t}=-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy$$

이 적분은 이제 적분 두 개로 나눌 수 있다.

$$-x\cdot \int (1-y^2)\cdot dy=-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)$$

모두 적분 공식으로 바로 구할 수 있다.

$$-x\cdot (\int 1\text{ d}y-\int y^2\text{ d}y)=-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})$$

이제 y에 다시 원래의 cos t를 대입한다.

$$-x\cdot (y-\frac{y^3}{3})=-x\cdot (\cos t-\frac{{\cos }^{3}t}{3})+c$$

이것이 최종 결과이다.