Komposisi fungsi

Satu fungsi saja tidak dapat berbuat banyak. Karena itu, fungsi-fungsi dapat dikomposisikan (digabungkan).

Motivasi

Misalkan ada dua fungsi. Fungsi pertama menghitung jarak yang ditempuh mobil dengan sejumlah liter bensin. Misalkan mobil kita menempuh 10 kilometer dengan satu liter bensin. Fungsi ini kita beri nama f dan kita definisikan sebagai f(x) = 10x, dengan parameter x menyatakan banyak liter bensin yang kita miliki. Jadi, jika di tangki masih ada enam liter bensin, mobil masih dapat menempuh f(6) = 10 · 6 = 60 kilometer.

Fungsi kedua menghitung berapa liter bensin yang dapat kita beli dengan sejumlah uang. Misalkan harga satu liter bensin Rp10.000. Fungsi ini kita beri nama g, dan rumusnya g(x) = x / 10000, dengan x menyatakan banyak rupiah yang akan kita belanjakan untuk bensin. Jika kita mempunyai Rp50.000, kita dapat membeli g(50000) = 50000 / 10000 = 5 liter bensin.

Sekarang kita dapat bertanya: berapa kilometer lagi yang dapat ditempuh jika kita membeli bensin seharga Rp250.000?

Kita sudah mempunyai fungsi yang masing-masing menghitung sebagian masalah: jarak tempuh yang bergantung pada banyak liter, dan banyak liter bensin yang bergantung pada uang. Sekarang kedua fungsi itu perlu dikomposisikan.

Cara menyelesaikannya

Kita dapat menyelesaikannya dengan terlebih dahulu menghitung banyak liter bensin yang dapat dibeli, lalu menghitung jarak yang dapat ditempuh. Mari kita coba. Dengan Rp250.000 kita dapat membeli g(250000) = 250000 / 10000 = 25 liter bensin. Dengan 25 liter bensin, mobil dapat menempuh f(25) = 10 · 25 = 250 kilometer.

Namun, masalah ini juga dapat diselesaikan dengan cara lain, yaitu dengan komposisi fungsi. Kita dapat mendefinisikan fungsi baru h yang menerima banyak uang sebagai input dan mengembalikan jarak tempuh sebagai output. Fungsi h didefinisikan dengan fungsi f dan g seperti ini:

$$h(x)=f(g(x))$$

Fungsi h ini sebenarnya melakukan hal yang sama dengan perhitungan pada paragraf pertama. Jika diberikan nilai x, yaitu banyak uang, kita terlebih dahulu menghitung nilai g(x), yaitu banyak liter yang dapat dibeli dengan uang itu. Hasil g(x), dalam kasus kita g(250000) = 25, kemudian dimasukkan ke dalam fungsi f, sehingga kita menghitung f(25) = 250.

Kita juga dapat memperoleh rumus fungsi h secara langsung. Ambil fungsi f, lalu ganti setiap x dengan fungsi g. Fungsi f berbentuk f(x) = 10x, dan x kita ganti dengan x / 10000. Hasilnya adalah fungsi h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{10000}\right)$$

Setelah disederhanakan:

$$h(x)=\frac{x}{1000}$$

Sekarang fungsi f dan g sudah kita komposisikan menjadi fungsi baru h, yang menghitung jarak tempuh mobil dengan bensin seharga x rupiah. Kita dapat memeriksanya dengan memasukkan Rp250.000 tadi ke dalam fungsi:

$$h(250000)=\frac{250000}{1000}=250.$$

Hasilnya sesuai dengan perhitungan kita sebelumnya.

Komposisi fungsi yang lebih rumit

Misalkan fungsi f dan g didefinisikan seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Sekarang kita coba komposisikan fungsi-fungsi itu seperti ini: f(g(x)). Ambil fungsi f, lalu setiap x kita ganti dengan fungsi g, sebaiknya di dalam kurung:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Jika urutannya dibalik, kita peroleh:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Untuk komposisi fungsi digunakan lambang lingkaran kecil: f ∘ g. Masalahnya, penulisan ini kadang berarti komposisi f(g(x)) dan kadang g(f(x)). Buku sekolah di Indonesia memakai arti yang pertama, yaitu (f ∘ g)(x) = f(g(x)), tetapi tidak semua sumber memakainya seragam. Jadi, selalu periksa bagaimana lambang itu dimaksudkan.