Fungsi rasional linear

Fungsi rasional linear (fungsi pecahan linear) adalah fungsi yang pembilang dan penyebutnya berupa fungsi linear:

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}$$

Fungsi rasional linear yang paling sederhana adalah $y=\frac{k}{x}$. Mungkin kamu sudah mengenalnya di SMP sebagai perbandingan berbalik nilai, yang dikerjakan dengan aturan tiga. Misalkan jarak dari rumah Budi ke kota tetangga kira-kira 30 kilometer. Jika kamu berkendara dengan kecepatan 30 km/jam, kamu tiba dalam satu jam; dengan 60 km/jam dalam setengah jam; dan dengan sepeda berkecepatan 15 km/jam kamu tiba dalam dua jam. Kecepatan dua kali lipat, waktu tinggal setengahnya. Jadi, lama perjalanan dalam jam adalah

$$t=\frac{30}{v},$$

dengan v kecepatan dalam kilometer per jam. Inilah fungsi $y=\frac{k}{x}$ dengan k = 30.

Grafik fungsi rasional linear adalah hiperbola, tepatnya hiperbola sama sisi (siku-siku), yaitu hiperbola dengan asimtot yang saling tegak lurus. Dibandingkan gambar-gambar di artikel tersebut, hiperbola ini juga diputar sehingga tidak mendekati dua garis miring yang berpotongan, melainkan garis mendatar dan garis tegak. Sebagai contoh, berikut grafik fungsi $y=\frac{x-1}{x-2}$. Asimtotnya adalah garis putus-putus biru x = 2 dan y = 1:

Rumus ini juga disertai dua syarat, yaitu c ≠ 0 dan ad − bc ≠ 0. Jika c = 0, penyebutnya tidak memuat x, sehingga kita memperoleh fungsi linear biasa. Jika ad − bc = 0, pembilangnya merupakan kelipatan penyebut, pecahannya dapat disederhanakan, dan yang tersisa adalah fungsi konstan.

Fungsi k/x

Kita mulai dengan fungsi $y=\frac{k}{x}$. Nilai x tidak boleh diganti dengan nol, karena pembagian dengan nol tidak dapat dilakukan. Jadi, daerah asalnya adalah D_f = ℝ ∖ {0}. Namun, hasilnya juga tidak pernah nol, karena pecahan dengan pembilang tidak nol tidak mungkin bernilai nol. Karena itu, daerah hasilnya juga R_f = ℝ ∖ {0}.

Mari kita substitusikan beberapa bilangan ke fungsi $y=\frac{2}{x}$. Untuk x = 1 diperoleh y = 2, untuk x = 2 diperoleh y = 1, dan untuk x = 4 tinggal $y=\frac{1}{2}$. Makin besar x, makin rapat grafik mendekati sumbu x, tetapi tidak pernah menyentuhnya. Sebaliknya, makin dekat x ke nol, makin besar y yang diperoleh: untuk $x=\frac{1}{10}$ diperoleh y = 20. Jadi, grafiknya melesat ke atas di sepanjang sumbu y. Untuk x negatif keadaannya sama, hanya tandanya berlawanan.

Kurva merah pada gambar adalah grafik fungsi $y=\frac{2}{x}$, sedangkan kurva biru adalah grafik fungsi $y=-\frac{2}{x}$. Titik-titik jingga sesuai dengan nilai-nilai yang baru saja kita hitung. Letak cabang-cabang hiperbola ditentukan oleh tanda bilangan k:

• untuk k>0, cabang hiperbola terletak di kuadran I dan III,
• untuk k<0, cabang hiperbola terletak di kuadran II dan IV.

Sumbu x dan sumbu y yang didekati grafik disebut asimtot.

Sekarang hati-hati dengan jebakan yang menjerat hampir semua orang. Fungsi $y=\frac{2}{x}$ tentu turun, bukan? Setiap cabang merah memang turun. Namun, coba ambil x₁ = −1 dan x₂ = 1. Berlaku x₁<x₂, tetapi f(−1) = −2 lebih kecil daripada f(1) = 2. Jadi, fungsi ini tidak turun pada seluruh D_f. Fungsi ini turun pada interval (−∞, 0) dan, secara terpisah, pada interval (0, ∞). Jika seseorang menulis bahwa fungsi ini turun pada ℝ ∖ {0}, jawabannya salah.

Grafik yang digeser dan mengubah bentuk umum

Grafik fungsi $y=\frac{k}{x}$ dapat digeser seperti parabola pada fungsi kuadrat. Fungsi

$$y=\frac{k}{x-m}+n$$

mempunyai grafik yang sama dengan $y=\frac{k}{x}$, hanya digeser sejauh m ke kanan dan n ke atas. Perhatikan tandanya: di penyebut ada x − m, sehingga $\frac{k}{x-3}$ bergeser tiga satuan ke kanan, bukan ke kiri. Bersama grafik, asimtotnya pun ikut bergeser, sehingga asimtotnya bukan lagi sumbu koordinat, melainkan garis x = m dan y = n. Asimtot tegak terletak di tempat penyebut bernilai nol. Jika x mendekati m, penyebutnya sangat kecil dan pecahannya sangat besar, sehingga grafik melesat ke atas atau ke bawah. Asimtot datar terletak pada nilai yang didekati oleh nilai fungsi ketika x sangat jauh dari nol, baik di sisi positif maupun negatif. Pada saat itu pecahan $\frac{k}{x-m}$ hampir nol, sehingga yang tersisa hanya n.

Namun, rumus umum $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ biasanya tidak diberikan dalam bentuk ini. Kita akan mengubah fungsi berikut:

$$y=\frac{2x+1}{x-1}.$$

Penyebutnya x − 1, jadi kita coba memunculkan bentuk yang sama di pembilang. Dua kali x − 1 adalah 2x − 2, dan untuk memperoleh pembilang 2x + 1, kita masih harus menambahkan tiga:

$$2x+1=2\cdot (x-1)+3$$

Substitusikan ke pecahan:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)+3}{x-1}$$

Pecahan ini kita pecah menjadi jumlah dua pecahan:

$$y=\frac{2\cdot (x-1)}{x-1}+\frac{3}{x-1}$$

Pada pecahan pertama, x − 1 kita coret:

$$y=2+\frac{3}{x-1}$$

Hasil yang sama juga dapat diperoleh dengan pembagian polinomial: (2x + 1):(x − 1) menghasilkan 2 dengan sisa 3. Dari hasil ini kita mudah membaca m = 1, n = 2, dan k = 3. Asimtotnya adalah garis x = 1 dan y = 2. Karena k positif, cabang-cabangnya terletak di kanan atas dan kiri bawah terhadap asimtot, mirip dengan $y=\frac{2}{x}$.

Daerah asal ditentukan oleh penyebut, yang tidak boleh nol, jadi x ≠ 1. Sebaliknya, fungsi tidak pernah bernilai 2, karena pecahan $\frac{3}{x-1}$ tidak mungkin nol:

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\},R_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Tinggal titik potong dengan sumbu koordinat. Pada titik potong dengan sumbu x berlaku y = 0, dan pecahan bernilai nol hanya jika pembilangnya nol:

$$\begin{array}{rcl}2x+1& =& 0/-1\\ 2x& =& -1/:2\\ x& =& -\frac{1}{2}\end{array}$$

Titik potong dengan sumbu y diperoleh dengan mengganti x dengan nol:

$$y=\frac{2\cdot 0+1}{0-1}=\frac{1}{-1}=-1$$

Grafiknya memotong sumbu x di titik $(-\frac{1}{2},0)$ dan sumbu y di titik (0, −1). Kedua titik potong ditandai jingga pada gambar, sedangkan asimtotnya berupa garis putus-putus abu-abu:

Perhatikan bahwa titik potong dengan sumbu y juga dapat diperoleh dari bentuk yang sudah diubah: $2+\frac{3}{0-1}=2-3=-1$. Hasilnya cocok.