Fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang variabelnya terletak di posisi pangkat.

Definisi

Fungsi eksponensial f berbentuk

$$f(x)=a^x,a\in \mathbb{R},a>0,a\ne 1$$

Lambang a adalah sembarang bilangan, bukan bentuk yang lebih rumit, dan disebut bilangan pokok (basis). Bentuk x disebut pangkat (eksponen). Jadi, bilangan pokoknya dapat berupa, misalnya, bilangan bulat 3, bilangan rasional $\frac{1}{2}$, atau konstanta π.

Mengapa bilangan pokok a diberi syarat? Jika a sama dengan satu, kita memperoleh fungsi konstan, karena “satu pangkat berapa pun” selalu satu. Berlaku 1² = 1, 1⁹ = 1, 1⁶⁶⁶ = 1. Karena fungsi konstan tidak digolongkan sebagai fungsi eksponensial, a harus berbeda dari satu, jadi a ≠ 1.

Lalu, mengapa harus berlaku a>0? Karena perpangkatan dengan pangkat bilangan real hanya terdefinisi untuk bilangan pokok positif. Misalnya, jika kita memilih x sama dengan setengah, menghitung $a^{\frac{1}{2}}$ sama saja dengan menghitung akar kuadrat dari bilangan a. Padahal, akar kuadrat hanya dapat ditarik dari bilangan nonnegatif.

Jika syarat-syarat tadi dipenuhi, daerah asal fungsi eksponensial f(x) = a^x adalah himpunan bilangan real.

Fungsi kuadrat dan fungsi eksponensial

Fungsi eksponensial mudah tertukar dengan fungsi kuadrat. Pada fungsi kuadrat, variabelnya menjadi bilangan pokok dan pangkatnya berupa bilangan, sedangkan pada fungsi eksponensial bilangan pokoknya berupa bilangan dan variabelnya berada di pangkat. Jadi, contoh fungsi kuadrat adalah x², x² + 4, atau x² − x + 1. Contoh fungsi eksponensial adalah 2^x, 4^x, atau π^x.

Fungsi eksponensial yang penting

Salah satu fungsi eksponensial yang penting adalah “fungsi eksponensial natural”. Bilangan pokok fungsi ini adalah konstanta e, yaitu bilangan Euler. Bilangan Euler adalah bilangan irasional, yaitu bilangan yang bentuk desimalnya tak berhingga dan tidak berulang, sehingga nilainya tidak dapat dituliskan secara eksak. Nilai hampirannya adalah e = 2,718 281 828… Fungsi ini sering dilambangkan dengan exp.

Fungsi eksponensial penting lainnya adalah “fungsi eksponensial basis 10”, yang bilangan pokoknya sepuluh: a = 10.

Bentuk grafik bergantung pada nilai a

Fungsi eksponensial mempunyai dua bentuk dasar, bergantung pada nilai bilangan pokoknya. Kita membedakan dua interval: (0, 1) dan (1, ∞). Jika a terletak pada interval pertama, yaitu kurang dari satu, fungsinya turun. Jika nilainya terletak pada interval kedua, fungsinya naik. Hal ini tentu masuk akal. Sebagai contoh, ambil $a=\frac{1}{2}$, yaitu fungsi $f(x)={\frac{1}{2}}^x$. Apa yang terjadi jika x berturut-turut diganti dengan 2, 3, dan 4? Nilai fungsinya akan terus mengecil, karena diperoleh $f(2)={\frac{1}{2}}^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, lalu $f(3)={\frac{1}{2}}^3=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$, yang sama dengan $\frac{1}{8}$. Untuk f(4) diperoleh setengah dari seperdelapan, yaitu $\frac{1}{16}$. Bilangan yang diperoleh makin kecil karena bilangan pokoknya kurang dari satu. Jika kita mengalikan dengan bilangan yang kurang dari satu, hasilnya selalu lebih kecil.

Sebaliknya, jika a>1, hasil perkaliannya makin besar. Untuk fungsi eksponensial f(x) = 3^x, nilai dua, tiga, dan empat memberikan hasil berikut: f(2) = 3² = 3 · 3 = 9. Untuk tiga: f(3) = 3³ = 3 · 3 · 3 = 27. Selanjutnya f(4) = 81. Jadi, fungsi ini naik. Perhatikan bahwa jika bilangan pokoknya bilangan lain yang lebih besar daripada satu, fungsinya tetap naik.

Karena itu, kita juga harus membedakan dua jenis grafik, bergantung pada nilai bilangan pokok a.

Grafik fungsi eksponensial

Dari bagian sebelumnya kita tahu bahwa grafiknya mempunyai dua bentuk dasar, bergantung pada nilai bilangan pokok a. Pertama, kita lihat grafik untuk nilai a pada interval (0, 1).

Terlihat bahwa fungsi ini turun dan melalui titik (0, 1). Hal ini bukan kebetulan. Dari sifat-sifat perpangkatan kita tahu bahwa bilangan apa pun (selain nol) pangkat nol sama dengan satu. Jadi, ${\frac{1}{2}}^0=1,5^0=1,{33}^0=1$, dan seterusnya. Karena itu, setiap kurva fungsi eksponensial harus melalui titik ini, termasuk kurva fungsi eksponensial dengan a>1, seperti terlihat pada gambar berikut:

Sifat-sifat fungsi eksponensial

• Daerah asal adalah himpunan semua bilangan real
• Daerah hasil adalah interval (0, ∞)
• Terbatas di bawah, a^x>0. Tidak terbatas di atas.
• Tidak mempunyai maksimum maupun minimum.

Kemonotonan fungsi bergantung pada nilai a. Jika a terletak pada interval (0, 1), fungsinya turun. Jika nilainya terletak pada interval (1, ∞), fungsinya naik.

Pertumbuhan eksponensial

Istilah “pertumbuhan eksponensial” cukup sering dipakai juga dalam bahasa sehari-hari. Biasanya orang ingin mengatakan bahwa sesuatu naik dengan sangat cepat. Contoh klasiknya adalah pembelahan bakteri, seperti yang sering digambarkan dalam film kartun tentang tubuh manusia. Sesekali muncul bakteri jahat yang berkembang biak dengan cara selalu membelah diri menjadi dua. Cara berkembang biak ini dapat dinyatakan dengan fungsi eksponensial f(x) = 2^x. Nilai fungsinya menyatakan banyak bakteri setelah x kali pembelahan.

Contoh: pada awalnya (belum ada pembelahan, x = 0) ada satu bakteri, yaitu 2⁰ = 1. Setelah pembelahan pertama ada 2¹ = 2, yaitu dua bakteri. Hasil ini cocok: satu bakteri membelah menjadi dua. Sekarang kedua bakteri itu masing-masing membelah, sehingga ada 2² = 4, yaitu empat bakteri. Masing-masing membelah lagi, sehingga setelah pembelahan ketiga ada 2³ = 8 bakteri. Begitu seterusnya.

Walaupun tidak tampak demikian, perkembangbiakan ini sangat cepat. Berapa banyak bakteri setelah pembelahan kesepuluh? 2¹⁰ = 1024. Itu sudah bilangan yang lumayan. Setelah dua puluh kali pembelahan ada 2²⁰ = 1.048.576. Setelah tiga puluh kali pembelahan, banyaknya sudah melebihi satu miliar.

Kecepatan ini jauh lebih besar daripada kecepatan fungsi kuadrat biasa. Jika kita membandingkan kecepatan fungsi eksponensial f(x) = 2^x dan fungsi kuadrat g(x) = x², fungsi eksponensial jelas menang. Kita sudah tahu nilai fungsi f di titik x = 20, sedangkan nilai fungsi kuadrat g di titik x = 20 adalah g(20) = 20² = 400. Nilai ini berkali-kali lipat lebih kecil daripada 1.048.576.