Apa itu fungsi

Fungsi adalah konsep yang sangat mendasar dalam matematika, dan kamu perlu memahaminya dengan baik. Matematika dipenuhi fungsi. Banyak lambang yang sudah kamu kenal sejak SD sebenarnya menyatakan fungsi.

Analogi fungsi

Pernahkah kamu melihat mesin kopi otomatis? Apa ciri khas mesin seperti itu? Kamu memasukkan beberapa koin, lalu mesin mengeluarkan kopi. Jika kamu memasukkan lebih banyak koin, mesin memberikan kopi yang lebih enak.

Fungsi adalah semacam mesin kopi matematika. Kamu memasukkan suatu input (koin) ke dalam fungsi, lalu fungsi mengembalikan suatu output (kopi). Itulah seluruh prinsip dasar fungsi.

Tugas fungsi adalah menerima suatu input, yaitu suatu bilangan, mengolah bilangan itu di dalamnya, mengubahnya, lalu mengembalikan bilangan baru sebagai output.

Istilah dasar

Setiap fungsi mempunyai nama. Nama yang paling sering dipakai untuk fungsi adalah huruf “f”. Fungsi juga memerlukan aturan yang menentukan cara kerjanya, ibarat cara mesin membuat kopi. Sebagai permulaan, kita dapat membayangkan fungsi sebagai tabel dengan dua kolom. Kolom pertama berisi input (pada mesin kopi, nilai koin), dan kolom kedua berisi output fungsi (kopi).

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 2& 4\\ 3& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Terlihat bahwa output selalu dua kali input, tetapi hal itu sama sekali tidak harus menjadi aturan. Tabel seperti ini pun boleh:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 0& 22\\ 122& 74\\ -3& 1\\ 42& -45\\ 8& 84\\ \hline\end{array}$$

Namun, sebagai permulaan cukup tabel pertama yang teratur. Kita dapat mengatakan bahwa tabel tersebut mendefinisikan fungsi f. Apa yang dilakukan fungsi? Kita memasukkan suatu input ke dalam fungsi, fungsi mencari input itu di kolom pertama tabel, lalu mengembalikan output pada baris yang sama. Jika kita mencari output fungsi untuk bilangan tiga, kita menuliskannya seperti ini:

$$f(3)=6$$

Kita menemukan baris dengan input 3, dan pada baris yang sama outputnya 6. Selanjutnya berlaku f(1) = 2, f(2) = 4, f(4) = 8 dan f(5) = 10. Menuliskan semua fungsi dengan tabel mungkin terlihat rapi untuk beberapa bilangan saja, tetapi untuk banyak bilangan cara ini sangat tidak praktis. Karena itu, kita memerlukan cara penulisan lain, yaitu rumus fungsi. Pada tabel kita, output selalu dua kali input. Dengan rumus fungsi, hal ini dapat ditulis seperti ini:

$$f(x)=2\cdot x$$

Ini adalah fungsi linear sederhana, tetapi hal itu belum penting sekarang. Apa arti bentuk ini? Huruf f menyatakan nama fungsi, seperti yang sudah kita ketahui. Bagian di dalam kurung, yaitu huruf x, menyatakan parameter fungsi. Dalam analogi mesin kopi, parameter ini adalah “nilai koin yang dimasukkan”. Parameter fungsi adalah variabel yang menyimpan nilai yang kita berikan. Jika kita memasukkan uang Rp5.000 ke mesin (fungsi), di dalam fungsi berlaku x = 5000. Selanjutnya mesin atau fungsi mengolah nilai itu dengan caranya sendiri.

Berikutnya ada tanda sama dengan, dan di belakangnya terdapat rumus yang menentukan apa yang harus dilakukan terhadap nilai x. Terlihat bahwa fungsi mengalikan nilai x dengan dua. Hanya itu.

Contoh fungsi lainnya

Ruas kanan dapat berisi hampir semua bentuk matematika. Di sana bisa ada fungsi lain, bisa juga ada syarat yang memperjelas definisi. Misalnya, kita dapat mendefinisikan suatu fungsi dengan kata-kata seperti ini: “jika inputnya bilangan genap, kembalikan nol; jika inputnya bilangan ganjil, kembalikan satu”. Fungsi ini hanya mengembalikan satu dan nol, tetapi tetap merupakan fungsi.

Yang penting dipahami, fungsi dapat didefinisikan hampir dengan cara apa pun. Tentu saja fungsi juga punya aturan, tetapi aturan itu belum terlalu penting sekarang. Salah satunya dibahas pada bagian berikutnya. Definisi fungsi tidak harus langsung masuk akal dan tidak harus teratur. Fungsi boleh saja selalu mengembalikan dua kali nilai input, kecuali jika inputnya 7. Untuk input itu, fungsi mengembalikan 9. Definisi ini mungkin agak aneh, tetapi tetap merupakan fungsi.

Banyak kegiatan di luar matematika pun dapat disebut fungsi. Misalnya, jika kamu menghitung panjang kata “mamut”, kita dapat mengatakan bahwa kamu memanggil fungsi bernama “panjang kata” dan memberinya kata “mamut” sebagai argumen. Fungsi menghitung huruf dalam kata itu dan mengembalikan bilangan 5 sebagai output.

Kamu perlu menghitung bunga majemuk yang harus dibayar untuk pinjaman atau KPR? Fungsi juga bisa melakukannya. Kamu cukup mendefinisikan fungsi yang menghitung besar bunga, misalnya setelah sepuluh tahun. Kamu ingin tahu berapa kilometer lagi mobil dapat berjalan dengan sejumlah liter bensin? Definisikan saja fungsinya! Jika rata-rata mobil menempuh 11 kilometer per liter bensin, fungsi yang menghitung jarak yang masih dapat ditempuh dapat didefinisikan seperti ini:

$$jarak(x)=11\cdot x$$

Jika bensin tinggal 17 liter, jaraknya kita hitung dengan memanggil fungsi seperti ini:

$$jarak(17)=11\cdot 17=187$$

Singkatnya, fungsi adalah apa saja yang untuk suatu input mengembalikan suatu bilangan. Kembalikan jarak garis lurus dari Bandung ke suatu kota, kembalikan durasi lagu terpanjang dalam suatu album, kembalikan banyak helai rambut di kepala seseorang, kembalikan banyak kaki seekor hewan, dan sebagainya.

Sifat dasar fungsi

Kembali ke tabel tadi. Syarat yang sangat penting bagi fungsi adalah tidak boleh ada nilai yang muncul dua kali di kolom pertama (kolom input). Jika tabelnya seperti ini:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 1& 4\\ 1& 6\\ 4& 8\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

… kita tidak dapat menentukan apa yang harus dikembalikan fungsi jika inputnya 1:

$$f(1)=?$$

Fungsi harus terdefinisi dengan jelas. Tidak mungkin fungsi mengembalikan dua hasil berbeda untuk input yang sama. Hal itu tidak diperbolehkan. Kita menuntut agar untuk input yang sama fungsi selalu mengembalikan output yang sama. Perhatikan bahwa syarat ini tidak berlaku untuk kolom kedua, yaitu output. Output boleh saja sama, dan hal itu tidak menjadi masalah. Tabel berikut sah:

$$\begin{array}{|cc|}\hline \text{input}& \text{output}\\ 1& 2\\ 2& 2\\ 3& 2\\ 4& 2\\ 5& 10\\ \hline\end{array}$$

Menghitung nilai fungsi

Kita sudah tahu nama setiap bagian fungsi dan secara garis besar cara mendefinisikannya. Sekarang kita jelaskan langkah demi langkah bagaimana nilai fungsi dihitung. Misalkan diberikan fungsi f(x) = 2x. Apa yang terjadi jika kita memasukkan bilangan 3 ke dalam fungsi? Memasukkan bilangan 3 berarti menyubstitusikan bilangan 3 ke parameter fungsi. Argumen fungsi adalah 3, jadi setiap x kita ganti dengan 3:

$$f(3)=2\cdot 3$$

Sudah terlihat bahwa fungsi mengeluarkan 6, sama seperti tabel tadi. Namun, tabel hanya memuat lima bilangan, sedangkan definisi baru kita dapat menerima bilangan lain juga:

$$\begin{array}{rcl}f(10)& =& 2\cdot 10=20\\ f(54)& =& 2\cdot 54=108\\ f(-7)& =& -14\end{array}$$

Proses menyubstitusikan nilai tertentu ke variabel x disebut menghitung nilai fungsi, memanggil fungsi, atau penerapan fungsi. Jadi, jika kita mengatakan “panggil fungsi f dengan argumen 5”, artinya kita ingin menghitung nilai f(5). Dalam contoh kita, f(5) = 2 · 5 = 10.

Ada dua istilah lagi yang perlu diingat. Nilai yang kita gunakan untuk memanggil fungsi (nilai yang disubstitusikan ke x) disebut argumen fungsi. Mungkin terdengar agak membingungkan, tetapi jika kita mempunyai fungsi f(x) dan memanggilnya dengan nilai tiga, yaitu f(3), maka x adalah parameter fungsi dan 3 adalah argumen fungsi. Argumen adalah nilai yang kita gunakan untuk memanggil fungsi. Parameter adalah variabel asli yang dipakai dalam definisi fungsi. Perbedaan ini lebih merupakan detail teknis.

Istilah berikutnya adalah nilai fungsi, yaitu nilai yang dikembalikan fungsi sebagai output. Fungsi tadi mengembalikan 6 ketika dipanggil dengan 3. Jadi, dalam kasus ini 6 adalah nilai fungsi. Dalam kalimat lengkap kita katakan “nilai fungsi f di titik 3 adalah 6”. Dalam konteks ini, kata “titik” biasanya berarti argumen fungsi.

Fungsi dalam matematika sehari-hari

Dalam matematika sehari-hari ada banyak sekali fungsi dengan cara penulisan yang sangat khusus, sehingga tidak tampak seperti fungsi. Misalnya, nilai mutlak tidak lain adalah fungsi. Fungsi ini menerima suatu bilangan sebagai input dan mengembalikan bilangan yang sama atau bilangan dengan tanda berlawanan sebagai output.

Kamu pasti mengenal lambang akar kuadrat: $\sqrt{}$. Ini juga fungsi. Fungsi ini menerima suatu argumen sebagai input dan mengembalikan akar kuadratnya sebagai output. Demikian pula kuadrat x² adalah fungsi. Fungsi ini menerima suatu bilangan sebagai input dan mengembalikan kuadrat bilangan itu sebagai output.

Penting untuk disadari bahwa sebagian besar lambang “ajaib” seperti ini sebenarnya tidak lebih rumit daripada fungsi biasa. Jangan memandang lambang $\sqrt{}$ sebagai coretan bengkok yang aneh, tetapi pandanglah lambang itu sebagai fungsi.

Bagi pemula, bentuk yang berisi banyak lambang matematika bisa sangat membingungkan. Separuh lambangnya mungkin belum ia pahami, padahal bentuk itu hanya terdiri atas beberapa fungsi komposisi. Perhatikan contoh berikut:

$$\sqrt{|x^2|}!$$

Orang awam yang melihat bentuk ini mungkin akan menggaruk kepala dan tidak tahu harus berbuat apa. Padahal, bentuk itu hanya memuat empat fungsi yang cukup sederhana, yang diterapkan berturut-turut pada variabel x. Dengan fungsi-fungsi yang diberi nama dan disusun bertingkat, bentuk itu dapat ditulis seperti ini:

$$\text{faktorial}(\text{akar}(\text{abs}(\text{kuadrat}(x))))$$

Penulisannya lebih panjang, tetapi bagi orang yang belum akrab dengan lambang-lambang matematika, mungkin lebih mudah dipahami. Selain itu, urutan pemanggilan fungsinya juga sangat jelas.

Ringkasan penulisan fungsi

Fungsi mempunyai nama, yang pada dasarnya boleh apa saja. Fungsi umum paling sering dinamai f. Setiap fungsi mempunyai sejumlah parameter yang ditulis di dalam kurung di belakang namanya. Jika fungsi f mempunyai dua parameter, kita menuliskannya f(x, y) atau f(a, b). Nama parameter pada umumnya tidak penting.

Beberapa fungsi yang sering dipakai mempunyai lambang sendiri, misalnya akar kuadrat mempunyai lambang $\sqrt{}$. Selanjutnya, sin atau sin(x) adalah fungsi sinus, |x| adalah fungsi nilai mutlak, dan x! adalah fungsi faktorial.

Jika fungsi hanya mempunyai satu parameter, kurungnya kadang dihilangkan. Hal ini kadang membuat penulisan lebih jelas, kadang tidak. Jadi, sin(x) dan sin x sama-sama merupakan penulisan yang sah untuk fungsi sinus.

Parameter fungsi adalah huruf x dalam penulisan f(x). Argumen adalah nilai yang kita gunakan untuk memanggil fungsi, yaitu nilai yang disubstitusikan ke x. Kedua istilah ini sering dipakai bergantian. Nilai fungsi adalah nilai yang kita peroleh setelah memanggil fungsi. Cara menuliskannya sederhana: nama fungsi, kurung, dan argumen. Jika kita mempunyai fungsi f(x) = 2x dan menyubstitusikan argumen x = 4 ke parameter x, kita katakan bahwa fungsi dipanggil dengan argumen x = 4 dan nilai fungsinya, f(4), sama dengan 8.