Pertumbuhan eksponensial
Sebuah legenda kuno bercerita bahwa penemu permainan catur meminta hadiah sederhana kepada raja: satu butir beras di petak pertama papan catur, dua butir di petak kedua, empat butir di petak ketiga, dan di setiap petak berikutnya dua kali lipat banyak butir di petak sebelumnya. Konon raja tertawa karena permintaan orang bijak itu begitu kecil, lalu memerintahkan agar sekarung beras dibawa. Namun, tawanya terlalu cepat.
Di petak pertama ada 1 butir, yaitu 20. Di petak kedua ada 21 = 2, di petak ketiga 22 = 4, di petak keempat 23 = 8. Pangkatnya satu lebih kecil daripada nomor petak, sehingga di petak terakhir, petak ke-64, terdapat
butir. Itu lebih dari sembilan juta triliun. Namun, itu baru petak terakhir, padahal kita ingin menghitung seluruh papan. Jika semua petak dijumlahkan, diperoleh
yaitu tepat 18.446.744.073.709.551.615 butir.
Mengapa hasilnya 264 − 1? Periksalah pada petak-petak pertama: 1 + 2 = 3, 1 + 2 + 4 = 7, 1 + 2 + 4 + 8 = 15. Jumlahnya selalu satu lebih kecil daripada banyak butir di petak berikutnya.
Satu butir beras beratnya kira-kira 20 miligram, jadi seribu butir beratnya sekitar 20 gram. Mari kita hitung berat beras di seluruh papan catur:
Seluruh papan catur akan memuat sekitar 369 miliar ton beras. Sebagai perbandingan, seluruh dunia menghasilkan kira-kira 540 juta ton beras per tahun. Cukup untuk berapa tahun panen dunia? Hasil bagi kedua bilangan itu:
Raja harus menyerahkan kepada penemu catur semua beras yang dipanen umat manusia selama lebih dari enam ratus tahun. Yang paling menarik adalah betapa lama semuanya tampak biasa saja: seluruh paruh pertama papan catur, 32 petak, berisi 232 − 1, yaitu sekitar 4,3 miliar butir. Beratnya kira-kira 86 ton, cukup untuk beberapa truk. Sisanya baru menumpuk di paruh kedua papan.
Penjumlahan dan perkalian
Jika pada setiap langkah sesuatu ditambah bilangan yang sama, kita menyebutnya pertumbuhan linear. Sebaliknya, jika sesuatu dikalikan dengan bilangan yang sama pada setiap langkah, itulah pertumbuhan eksponensial. Pada papan catur, bilangan pengalinya dua.
Orang tua Budi menawarkan dua cara menaikkan uang sakunya. Sekarang Budi menerima Rp300.000 per bulan, dan setiap bulan uang sakunya akan dinaikkan Rp100.000 atau 10%. Seratus ribu rupiah, atau hanya sepuluh persen dari tiga ratus ribu, yaitu tiga puluh ribu? Pilihannya tampak jelas.
Pada bulan pertama memang begitu. Dengan penjumlahan, Budi menerima 300 + 100 = 400 ribu rupiah; dengan perkalian, 300 · 1,1 = 330 ribu rupiah. Setelah setengah tahun, penjumlahan memberi Rp900.000 dan perkalian sekitar Rp531.000. Namun, sepuluh persen itu dihitung dari jumlah yang terus membesar, sehingga kenaikannya juga makin besar, sedangkan seratus ribu tetap seratus ribu. Pada bulan ke-23, perkalian menyusul penjumlahan, dan sejak itu jaraknya terus melebar: setelah tiga tahun Budi akan menerima Rp3.900.000 dengan penjumlahan dan lebih dari Rp9.200.000 dengan perkalian. Setelah empat tahun, Rp5.100.000 dibandingkan sekitar Rp29.100.000 per bulan.
Garis biru memimpin sebentar, tetapi kurva merah menanjak makin curam. Hal ini berlaku umum: cepat atau lambat, pertumbuhan eksponensial akan menyalip pertumbuhan linear apa pun. Pertanyaannya hanya kapan.
Seluruh pertumbuhan eksponensial dapat dirangkum dalam satu rumus
dengan N0 nilai awal, q bilangan pengali untuk satu periode, dan t banyak periode yang sudah berlalu. Untuk Budi, N0 = 300.000 dan q = 1,1, karena menambahkan 10% berarti mengalikan dengan 1,1. Setelah 36 bulan diperoleh
Pada papan catur, N0 = 1 dan q = 2. Variabel t berada di pangkat, jadi ini adalah fungsi eksponensial. Di artikel itu kamu juga dapat menemukan bakteri yang membelah menjadi dua.
Kapan nilainya menjadi dua kali lipat?
Pada pertumbuhan eksponensial, pertanyaan yang berguna adalah berapa lama waktu yang diperlukan agar nilainya menjadi dua kali lipat. Waktu penggandaan ini tidak berubah, kapan pun kita mulai menghitung. Jika sesuatu menjadi dua kali lipat dalam sepuluh tahun, dalam sepuluh tahun berikutnya nilainya menjadi dua kali lipat lagi, sehingga setelah dua puluh tahun menjadi empat kali lipat.
Untuk memperkirakannya, ada cara mudah yang disebut aturan 70: jika sesuatu bertambah p persen per periode, nilainya menjadi dua kali lipat kira-kira setelah
periode. Jika harga barang di toko naik 7% setiap tahun, harganya menjadi dua kali lipat kira-kira dalam 70:7 = 10 tahun. Roti yang sekarang berharga Rp4.000 akan berharga hampir Rp8.000 sepuluh tahun lagi. Sebaliknya, uang yang ditabung dengan bunga 3% per tahun akan menjadi dua kali lipat kira-kira dalam 70:3 ≈ 23 tahun. Bunga juga dihitung dari bunga sebelumnya, jadi ini adalah bunga majemuk, yang juga merupakan pertumbuhan eksponensial.
Mengapa tujuh puluh? Waktu penggandaan yang tepat dapat dihitung dengan logaritma. Kita mencari t yang memenuhi persamaan eksponensial
Kedua ruas persamaan kita logaritmakan, sehingga pangkatnya turun ke depan logaritma:
Sekarang tinggal membagi:
Jadi, harga akan menjadi dua kali lipat dalam waktu kurang dari sepuluh seperempat tahun, dan aturan 70 hampir tepat. Angka tujuh puluh muncul karena hasil bagi dua logaritma tidak bergantung pada basis logaritma yang dipakai. Dengan logaritma natural ln dan pertumbuhan umum sebesar p persen, diperoleh
karena untuk persentase kecil,
Teratai di kolam
Sebelum membaca lebih lanjut, cobalah memecahkan teka-teki ini sendiri. Di sebuah kolam tumbuh teratai, dan setiap hari banyaknya menjadi dua kali lipat dari hari sebelumnya. Dalam 30 hari teratai menutupi seluruh kolam. Pada hari keberapa setengah kolam tertutup?
Jawaban yang terpikir adalah hari kelima belas, karena lima belas adalah setengah dari tiga puluh. Namun, banyak teratai menjadi dua kali lipat setiap hari. Jadi, jika pada hari ke-30 seluruh kolam tertutup, sehari sebelumnya kolam itu pasti tertutup setengahnya. Setengah kolam tertutup teratai pada hari ke-29.
Jika kita mundur lagi: pada hari ke-28 seperempat kolam tertutup, pada hari ke-27 seperdelapan, pada hari ke-26 seperenam belas, dan pada hari ke-25 hanya sekitar 3% permukaan. Orang yang melihat kolam pada hari ke-25 akan melihat air yang hampir bersih dan mengira masih banyak waktu. Padahal, hanya dalam lima hari seluruh kolam tertutup.
Inilah yang berbahaya dari pertumbuhan eksponensial. Hampir sepanjang waktu pertumbuhan ini tampak biasa saja, dan ketika sudah terlihat dengan mata telanjang, hanya tersisa beberapa kali penggandaan sampai akhir.
Epidemi
Penyakit pun dapat menyebar dengan laju yang sama. Misalkan di suatu kota hari ini ada 100 orang yang tertular, dan banyak kasus menjadi dua kali lipat setiap tiga hari. Dalam 30 hari, banyaknya menjadi dua kali lipat sebanyak sepuluh kali:
Dari seratus orang sakit, dalam sebulan menjadi lebih dari seratus ribu. Karena itu, para ahli epidemiologi mendesak diambilnya tindakan ketika angkanya masih kecil dan orang merasa tidak terjadi apa-apa. Saat itu kita sebenarnya berada di kolam pada hari ke-25.
Kecepatan penyebaran penyakit dinyatakan dengan angka reproduksi R. Secara sederhana, angka ini menyatakan rata-rata banyak orang lain yang ditulari oleh satu orang sakit. Jika R = 2, setiap orang menulari dua orang lain, kedua orang itu menulari empat orang, dan setiap “generasi” orang sakit dua kali lebih banyak daripada generasi sebelumnya. Jika satu generasi berlangsung kira-kira tiga hari, kita kembali tepat ke contoh di atas. Jika R berhasil ditekan di bawah satu, misalnya menjadi 0,8, banyak orang sakit pada setiap generasi dikalikan dengan bilangan yang kurang dari satu, dan epidemi pun melemah. Dari 100 orang yang tertular, pada generasi kesepuluh hanya sekitar
orang yang tertular.
Perbedaan antara R = 0,8 dan R = 2 tampak kecil. Namun, setelah sepuluh generasi perbedaannya menjadi jurang antara sebelas dan seratus dua ribu orang sakit.
Lipat kertas empat puluh dua kali
Ambil selembar kertas setebal kira-kira sepersepuluh milimeter. Lipat menjadi dua, dan kamu mendapat dua lapis, yaitu dua persepuluh milimeter. Lipat lagi, dan kamu mendapat empat lapis. Setiap lipatan menggandakan ketebalannya. Seberapa tebal kertas itu setelah dilipat 42 kali?
Jarak rata-rata Bulan dari Bumi kira-kira 384.000 km. Kertas yang dilipat empat puluh dua kali akan mencapai Bulan, bahkan masih tersisa sedikit.
Kamu tidak perlu mencobanya, karena dengan tangan kamu tidak akan bisa melipat selembar kertas lebih dari tujuh kali. Setelah tujuh lipatan, kertas itu terdiri atas 128 lapis dan tebalnya hampir 1,3 cm, dan kertasnya pun makin kecil dan kaku. Rekornya adalah tiga belas lipatan, dan untuk itu diperlukan gulungan kertas toilet sepanjang sekitar 16 km.
Mengapa angka ini terasa tidak masuk akal? Intuisi kita mampu menangani penjumlahan. Jika membayangkan 42 langkah, kita membayangkan 42 langkah yang sama berjajar. Di sini, setiap langkah menambahkan setebal seluruh kertas sampai saat itu. Setelah sepuluh lipatan, tebal kertas sekitar 10 cm, setelah dua puluh lipatan lebih dari 100 m, dan setelah tiga puluh lipatan tingginya sudah 107 km. Dua belas lipatan terakhir, yang membawa kertas sampai ke Bulan, hanyalah dua belas penggandaan berikutnya.
Tidak bertahan selamanya
Jika teratai terus berkembang biak dengan laju yang sama, pada hari ke-31 teratai akan menutupi dua kolam, dan pada hari ke-40 seribu kolam. Tentu saja tidak begitu kenyataannya. Luas kolam terbatas, makanan bakteri terbatas, dan penyakit tidak lagi menemukan orang untuk ditulari jika sebagian besar orang sudah pernah sakit. Di alam, pertumbuhan eksponensial hanya berlangsung sampai ruang atau sumber daya mulai habis.
Setelah itu pertumbuhan melambat, dan nilainya mendekati batas atas yang dapat ditanggung lingkungan. Grafik pertumbuhan seperti ini berbentuk seperti huruf S yang memanjang, sehingga disebut kurva S, atau secara ilmiah pertumbuhan logistik.
Pada awalnya kedua kurva hampir tidak berbeda. Sumber daya masih cukup, sehingga tidak ada yang menghambat, dan kurva S tumbuh secara eksponensial. Bahkan sebelum setengah jalan, kurva S mulai menjauh dari kurva eksponensial. Di tengah jalan menuju batas K, kurva S tumbuh paling cepat, lalu melengkung dan hanya perlahan-lahan mendekati batas itu. Masalahnya, dari bagian awal grafik kamu tidak dapat mengetahui apakah yang kamu lihat kurva eksponensial atau kurva S. Hal itu baru terlihat kemudian.
Dengan pola yang sama, suatu nilai juga dapat berkurang. Cukup jika nilainya pada setiap periode dikalikan dengan bilangan yang kurang dari satu, seperti pada epidemi dengan R = 0,8. Contoh klasiknya adalah peluruhan radioaktif. Di sini, alih-alih waktu penggandaan, kita berbicara tentang waktu paruh, yaitu waktu yang diperlukan agar setengah zat meluruh. Sesium-137 yang radioaktif mempunyai waktu paruh sekitar 30 tahun. Setelah 30 tahun tersisa setengahnya, setelah 60 tahun seperempatnya, dan setelah 90 tahun seperdelapannya. Secara matematis, jumlahnya hanya terus dibagi dua dan tidak pernah mencapai nol. Namun, zat terdiri atas atom-atom, sehingga dari satu gram sesium, setelah sekitar dua ribu tahun atom terakhir pun akan meluruh.