Fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi yang dapat dinyatakan dengan rumus f(x) = ax² + bx + c, dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0. Grafik fungsi linear selalu berupa garis lurus, sedangkan grafik fungsi kuadrat selalu berupa parabola.

Contoh fungsi kuadrat

Contoh fungsi kuadrat sederhana adalah f(x) = x² + 3x − 7. Grafiknya seperti berikut:

Secara umum, fungsi kuadrat dapat ditulis sebagai ax² + bx + c. Suku ax² disebut suku berderajat dua (suku kuadrat), dan suku ini harus dimiliki setiap fungsi kuadrat. Suku berikutnya, bx, disebut suku berderajat satu (suku linear). Suku ini tidak harus ada dalam fungsi kuadrat, artinya boleh bernilai nol. Misalnya, fungsi f(x) = 5x² + 7 tetap merupakan fungsi kuadrat. Suku terakhir, c, disebut konstanta dan juga tidak wajib ada. Untuk fungsi f(x) = x² + 3x − 7 berlaku

$$a=1,b=3,c=-7$$

Mengapa a sama dengan satu? Karena x² sebenarnya berarti 1 · x², sehingga a = 1.

Sifat-sifat fungsi kuadrat

Kita mulai dari daerah asal. Daerah asal fungsi kuadrat adalah ℝ, yaitu himpunan bilangan real. Daerah hasilnya bergantung pada fungsinya, tetapi selalu menuju tak hingga (positif atau negatif). Selain itu, fungsi kuadrat selalu naik di satu sisi titik puncak dan turun di sisi lainnya. Jika suku berderajat satu bernilai nol (b = 0), fungsi kuadrat merupakan fungsi genap. Fungsi kuadrat tidak pernah injektif.

Terbatas di atas atau di bawah

Fungsi kuadrat selalu terbatas di atas atau terbatas di bawah. Hal ini hanya bergantung pada parameter a. Jika parameter a positif, grafik fungsinya “menghadap ke atas”, berbentuk seperti huruf “U” (parabola terbuka ke atas), sehingga grafiknya terbatas di bawah. Contohnya adalah fungsi f(x) = 2x² dengan grafik berikut:

Terlihat bahwa semua nilai fungsi (semua titik merah) berada di atas bilangan −1, sehingga fungsi ini terbatas di bawah. Jika fungsinya f(x) = −2x²:

semua nilai fungsinya berada di bawah bilangan 1, sehingga fungsi ini terbatas di atas.

Kecekungan grafik

Kecekungan grafik juga bergantung pada parameter a. Fungsi kuadrat cekung ke atas (konveks) jika grafiknya berbentuk huruf “U” (∪), dan cekung ke bawah (konkaf) jika berbentuk huruf “U” terbalik (∩). Jadi, jika a > 0, grafiknya cekung ke atas, dan jika a < 0, grafiknya cekung ke bawah.

Parameter a juga menentukan apakah grafiknya sempit atau lebar. Makin dekat nilainya ke nol, makin lebar grafiknya, dan sebaliknya.

Titik potong dengan sumbu x dan y

Untuk menghitung titik potong fungsi dengan sumbu x atau y, kita cukup menyusun persamaan sederhana lalu menyelesaikannya. Kita hanya perlu ingat bahwa fungsi dapat ditulis dalam bentuk y = ax² + bx + c. Artinya, koordinat y di titik x = 2 diperoleh dengan mengganti setiap x dengan dua.

Misalnya, untuk fungsi y = x² − 4x + 3, di titik x = 2 diperoleh koordinat y sebesar 2² − 4 · 2 + 3 = −1. Jadi, grafik fungsi pasti melalui titik (2, −1). Jika kita ingin menghitung titik potong dengan sumbu x, sebenarnya kita mencari nilai x ketika y = 0. Titik potong dengan sumbu x selalu mempunyai koordinat y sama dengan 0. Perhatikan grafik berikut, dan hal ini akan menjadi jelas.

Karena itu, dalam y = x² − 4x + 3 kita cukup mengganti y dengan nol, lalu menyelesaikan persamaannya. Akar-akar persamaan yang diperoleh adalah koordinat x dari titik-titik potong.

$$x^2-4x+3=0$$

Ini adalah persamaan kuadrat yang dapat diselesaikan dengan cara-cara biasa. Misalnya, kita dapat memfaktorkannya menjadi (x − 1) · (x − 3), sehingga diperoleh akar-akar x₁ = 1 dan x₂ = 3.

Untuk memperoleh titik potong dengan sumbu y, kita bekerja dengan cara yang sama. Ambil y = x² − 4x + 3, tetapi kali ini ganti x dengan nol. Pada dasarnya kita mencari nilai fungsi di titik x = 0:

$$0^2-4\cdot 0+3=3$$

Jadi, titik potong dengan sumbu x adalah (1, 0) dan (3, 0), sedangkan titik potong dengan sumbu y adalah (0, 3).

Cara menentukan koordinat titik puncak

Pada fungsi kuadrat, menentukan titik puncak juga sangat penting. Agar kamu tidak perlu menghafal rumus yang cukup rumit, kita akan memakai cara lain, yaitu melengkapkan kuadrat sempurna. Titik puncak fungsi kuadrat adalah titik tempat fungsi mencapai nilai minimum atau maksimum. Fungsi f(x) = x² − 4x + 3, yang grafiknya seperti ini:

mempunyai titik puncak (2, −1).

Bentuk baku fungsi kuadrat adalah f(x) = ax² + bx + c. Untuk a = 1, fungsi ini akan kita ubah menjadi bentuk g(x) = (x + m)² + n, dengan (−m, n) sebagai titik puncak fungsi kuadrat. Untuk fungsi kita, kita ingin memperoleh bentuk (x − 2)² − 1. Bagaimana caranya?

Pertama, kita tulis kurungnya saja, (x + m), lalu ganti m dengan setengah dari parameter b fungsi kuadrat. Parameter b sama dengan negatif empat, setengahnya negatif dua, sehingga diperoleh bentuk (x − 2)².

Sekarang langkah kedua: kita harus mengurangkan suku yang berlebih. Jika kurung ini dijabarkan, hasilnya belum benar, karena kita tidak memperoleh fungsi semula. Dari kurung tersebut masih harus dikurangkan kuadrat dari m, lalu ditambahkan parameter c dari fungsi semula.

Konkretnya, dari kurung kita kurangkan (−2)² dan kita tambahkan tiga (parameter c):

$$(x-2{)}^2-4+3$$

Setelah disederhanakan, diperoleh

$$(x-2{)}^2-1,$$

dan inilah hasil akhirnya. Karena fungsi sudah berbentuk (x + m)² + n dengan m = −2, n = −1, kita tahu bahwa titik puncaknya mempunyai koordinat (−m, n), yaitu (2, −1).

Kita juga perlu memeriksa apakah perhitungannya benar. Kita hanya mengubah fungsi kuadrat x² − 4x + 3 menjadi bentuk (x − 2)² − 1. Bentuk baru ini harus menyatakan fungsi yang sama, sehingga jika kurungnya dijabarkan, kita akan memperoleh bentuk fungsi semula. Mari kita jabarkan (x − 2)² − 1.

$$\begin{array}{rcl}(x-2{)}^2-1& =& (x-2)\cdot (x-2)-1\\ & =& x^2-4x+4-1\\ & =& x^2-4x+3\end{array}$$

Terlihat bahwa kita memperoleh fungsi yang sama, jadi perhitungannya benar.