Fungsi invers

Fungsi invers adalah fungsi yang memasangkan unsur-unsur secara “terbalik” dibandingkan fungsi asalnya.

Contoh pengantar

Sebagai permulaan, kita ambil fungsi linear sederhana f(x) = 2x. Seperti apa nilai-nilai fungsinya? Misalnya, untuk beberapa bilangan asli pertama, nilai fungsinya seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}f(1)& =& 2\\ f(2)& =& 4\\ f(3)& =& 6\\ f(4)& =& 8\\ & \dots & \end{array}$$

Terlihat bahwa jika kita memasukkan 2 ke dalam fungsi, hasilnya 4. Apa yang seharusnya dilakukan fungsi invers dari fungsi ini? Fungsi invers harus bekerja terbalik: kita memasukkan 4, dan fungsi mengembalikan 2. Fungsi invers, yang dilambangkan dengan f⁻¹, harus memetakan unsur-unsur secara terbalik, yaitu seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(2)& =& 1\\ f^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(6)& =& 3\\ f^{-1}(8)& =& 4\\ & \dots & \end{array}$$

Bagaimana caranya? Fungsi asal mengembalikan dua kali nilai x, maka fungsi invers harus mengembalikan setengah dari nilai x. Jika kita memasukkan 3, setelah dikalikan dua diperoleh 6. Jika kita mengambil setengah dari 6, kita kembali ke 3. Jadi, rumus fungsi inversnya adalah:

$$f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$$

Definisi

Sekarang kita definisikan fungsi invers dengan cermat. Misalkan diberikan fungsi f dengan daerah asal D_f dan daerah hasil R_f. Menurut definisi fungsi, untuk setiap unsur x dari daerah asal D_f ada suatu unsur y dari daerah hasil R_f sehingga f(x) = y.

Fungsi invers f⁻¹ adalah fungsi yang memenuhi:

$$f(x)=y\iff f^{-1}(y)=x.$$

Apa arti definisi ini? Jika fungsi f dipanggil dengan argumen x dan menghasilkan nilai y, fungsi invers harus dapat dipanggil dengan argumen y dan mengembalikan nilai x.

Mari kita lihat hal ini pada gambar. Gambar pertama menunjukkan fungsi asal f, yang mengembalikan dua kali nilai yang diberikan. Lingkaran kiri menyatakan daerah asal, yaitu himpunan tempat kita memilih nilai x. Lingkaran kanan menyatakan daerah hasil, yaitu himpunan nilai yang dapat diambil oleh nilai fungsi. Anak panah menunjukkan input mana dipetakan ke output mana. Tentu saja seharusnya ada tak berhingga banyak anak panah; gambar ini hanya menunjukkan sebagian kecil fungsi.

Berikut gambar fungsi inversnya. Fungsi invers terlihat sangat mirip. Yang berubah terutama arah anak panah, dan daerah asal serta daerah hasilnya bertukar tempat.

Terlihat bahwa fungsi asal memetakan dari D_f ke R_f, sedangkan fungsi invers memetakan sebaliknya, dari R_f ke D_f. Jadi, daerah asal fungsi asal sama dengan daerah hasil fungsi invers, dan daerah hasil fungsi asal sama dengan daerah asal fungsi invers.

Keberadaan fungsi invers

Pertama-tama, fungsi invers tidak selalu ada. Penyebabnya adalah sifat dasar fungsi. Jika kita mengambil dua unsur yang sama dari daerah asal, a = b, fungsi harus selalu mengembalikan hasil yang sama, f(a) = f(b). Kembali ke fungsi yang mengembalikan dua kali nilai input, selalu harus berlaku f(5) = 10. Tidak mungkin fungsi mengembalikan, misalnya, tiga belas: f(5) = 13. Menurut definisi, hal ini tidak boleh terjadi pada fungsi.

Sekarang mari kita analisis keadaan ketika kita mempunyai, misalnya, fungsi kuadrat f(x) = x². Apa yang dikembalikan fungsi jika dipanggil dengan argumen x₁ = 2 dan x₂ = −2? Pada kedua kasus, fungsi mengembalikan nilai 4:

$$\begin{array}{rcl}f(2)& =& 4\\ f(-2)& =& 4\end{array}$$

Sejauh ini tidak ada masalah. Namun, seperti apa fungsi inversnya? Jika kita menyusun fungsi invers dari fungsi kuadrat ini, harus berlaku sekaligus:

$$\begin{array}{rcl}{f}^{-1}(4)& =& 2\\ f^{-1}(4)& =& -2\end{array}$$

Seperti yang kita ketahui, hal ini tidak mungkin. Fungsi tidak dapat mengembalikan hasil yang berbeda untuk argumen yang sama. Jadi, kapan fungsi invers ada? Jika tidak ada dua argumen input berbeda yang menghasilkan nilai yang sama. Inilah tepatnya definisi fungsi injektif:

$$x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$$

Fungsi invers dari fungsi f ada jika dan hanya jika fungsi f injektif. Mari kita jelaskan dengan gambar mengapa fungsi yang tidak injektif memang tidak mungkin mempunyai invers. Dengan anak panah, kita gambarkan sebagian fungsi kuadrat f(x) = x²:

Jika kita mencoba membalik arah anak panahnya, diperoleh gambar seperti ini:

Pada gambar ini, dari satu titik keluar dua anak panah menuju dua bilangan berbeda di himpunan kedua. Hal ini tidak memenuhi definisi fungsi, sehingga fungsi invers tidak mungkin ada.

Makna grafik

Jika fungsi invers ada, grafik fungsi dan grafik fungsi inversnya simetris terhadap garis y = x, yaitu grafik fungsi f(x) = x.

Menentukan fungsi invers

Jika diberikan suatu fungsi dan kamu diminta menentukan fungsi inversnya, ubahlah fungsi itu menjadi persamaan, lalu nyatakan x dalam variabel lain. Jadi, fungsi linear yang disebutkan pertama, f(x) = 2x, kita tulis seperti ini:

$$y=2x$$

Dari sinilah kita mulai. Tujuannya adalah menyatakan x dalam y. Di sini caranya cepat: bagilah kedua ruas persamaan dengan dua

$$\frac{y}{2}=x$$

dan x sudah dinyatakan. Jadi, fungsi inversnya adalah $f^{-1}(x)=\frac{x}{2}$. Contoh lain:

$$f(x)=4x-7$$

Kita tulis sebagai persamaan dan nyatakan x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& 4x-7/+7\\ y+7& =& 4x/:4\\ \frac{y+7}{4}& =& x\end{array}$$

Fungsi inversnya adalah:

$$f^{-1}(x)=\frac{x+7}{4}$$

Kita dapat mengujinya. Hitung nilai fungsi asal untuk 3:

$$f(3)=4\cdot 3-7=12-7=5$$

Jika fungsi inversnya benar, pemanggilan dengan nilai 5 akan mengembalikan 3:

$$f^{-1}(5)=\frac{5+7}{4}=\frac{12}{4}=3$$

Contoh berikutnya:

$$f(x)=x^2+1$$

Kita nyatakan x:

$$\begin{array}{rcl}y& =& x^2+1/-1\\ y-1& =& x^2/\sqrt{}\\ \sqrt{y-1}& =& \sqrt{x^2}\end{array}$$

Sekarang kita berada dalam keadaan yang kurang menyenangkan. Dari x² kita tidak bisa begitu saja menarik akar menjadi x; kita harus menambahkan nilai mutlak:

$$\sqrt{x^2}=|x|$$

Jika disubstitusikan ke persamaan sebelumnya:

$$\sqrt{y-1}=|x|$$

Akibatnya, kita memperoleh dua hasil, satu positif dan satu negatif:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \sqrt{y-1}\\ x_2& =& -\sqrt{y-1}\end{array}$$

Hasilnya, untuk satu y ada dua nilai x yang berbeda, kecuali jika akarnya bernilai nol. Meskipun demikian, kita dapat menemukan fungsi invers pada interval tertentu. Perhatikan grafik fungsinya:

Terlihat bahwa fungsi invers dapat ada pada interval [0, ∞). Jadi, kita hanya mengambil hasil x₁. Diperoleh fungsi yang grafiknya terlihat pada gambar berikut:

Jadi, pada interval tersebut fungsi invers ada, yaitu

$$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$$