Hàm số hợp

Một hàm số riêng lẻ làm được không nhiều. Vì vậy người ta cho phép hợp các hàm số với nhau.

Ví dụ mở đầu

Cho hai hàm số. Chẳng hạn, một hàm số tính số kilômét đi được với một lít xăng. Giả sử ô tô đi được 10 km với một lít xăng. Kí hiệu hàm số này là f và định nghĩa f(x) = 10x, trong đó tham số x là số lít xăng ta có. Vậy nếu trong bình còn sáu lít xăng thì ô tô còn đi được f(6) = 10 · 6 = 60 km.

Hàm số thứ hai có thể tính số lít xăng mua được với một số tiền cho trước. Giả sử một lít xăng giá 25.000 đồng. Khi đó hàm số, kí hiệu là g, có dạng: g(x) = x / 25000, trong đó x là số tiền (đồng) dùng để mua xăng. Nếu có 125.000 đồng thì ta mua được g(125000) = 125000 / 25000 = 5 lít xăng.

Bây giờ có thể đặt câu hỏi: nếu mua xăng hết 625.000 đồng thì ô tô còn đi được bao nhiêu kilômét?

Ta đã có các hàm số, mỗi hàm tính một phần việc: số kilômét đi được theo số lít xăng và số lít xăng mua được theo số tiền. Giờ cần hợp hai hàm số này lại.

Cách giải

Có thể giải bằng cách tính trước số lít xăng mua được, rồi tính số kilômét đi được. Ta thử làm. Với 625.000 đồng ta mua được g(625000) = 625000 / 25000 = 25 lít xăng. Với 25 lít xăng, ô tô đi được f(25) = 10 · 25 = 250 km.

Nhưng cũng có thể giải theo cách khác, bằng phép hợp hàm. Ta định nghĩa một hàm số mới h, có đầu vào là số tiền và đầu ra là số kilômét đi được. Hàm số h được định nghĩa qua các hàm số f và g như sau:

$$h(x)=f(g(x))$$

Hàm số h định nghĩa như vậy thực chất làm đúng những gì ta đã tính ở đoạn trên. Nó cho biết: khi nhận giá trị x, tức số tiền, trước hết phải tính giá trị g(x), là số lít xăng mua được. Giá trị g(x) thu được, ở đây là g(625000) = 25, ta lại đưa vào hàm số f, nên ta tính tiếp f(25) = 250.

Cũng có thể tìm công thức trực tiếp của hàm số h. Lấy hàm số f và thay mọi chỗ có tham số x bằng hàm số g. Hàm số f có dạng f(x) = 10x, ta thay tham số x bằng x / 25000. Khi đó được hàm số h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{25000}\right)$$

Rút gọn:

$$h(x)=\frac{x}{2500}$$

Như vậy ta đã hợp các hàm số f và g thành một hàm số mới h, tính số kilômét đi được với lượng xăng trị giá x đồng. Có thể kiểm tra bằng cách đưa vào hàm số 625.000 đồng quen thuộc:

$$h(625000)=\frac{625000}{2500}=250.$$

Kết quả trùng với phép tính trước đó.

Hợp các hàm số phức tạp hơn

Cho các hàm số f và g xác định như sau:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Ta thử hợp các hàm số theo cách f(g(x)). Lấy hàm số f và thay mọi chỗ có tham số x bằng hàm số g, tốt nhất là đặt trong dấu ngoặc:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Nếu hợp theo thứ tự ngược lại, ta được:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

Để kí hiệu phép hợp hàm, người ta dùng dấu tròn nhỏ: f ∘ g. Khó ở chỗ có khi kí hiệu này chỉ phép hợp theo thứ tự f(g(x)), có khi lại chỉ g(f(x)). Kí hiệu ở đây hơi thiếu nhất quán, vì vậy tốt nhất luôn xem kĩ nó được hiểu theo nghĩa nào.