Fungsi genap dan fungsi ganjil

Untuk fungsi kita dapat menentukan sifat genap-ganjilnya, yaitu apakah fungsi tersebut fungsi genap atau fungsi ganjil. Dalam kasus khusus, fungsi bisa genap sekaligus ganjil, tetapi biasanya fungsi tidak genap dan tidak ganjil.

Fungsi genap

Fungsi disebut genap jika memenuhi aturan sederhana: jika kamu memasukkan x ke dalam fungsi, lalu lawannya, −x, fungsi harus mengembalikan nilai yang sama. Contoh khas fungsi genap adalah f(x) = x². Jika kamu memanggilnya dengan argumen 6 dan −6, diperoleh f(6) = 36 dan f(−6) = 36. Argumennya hanya berbeda tanda, sehingga hasilnya sama.

Definisi formalnya dapat ditulis seperti ini. Jika fungsi f genap, fungsi itu harus memenuhi

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(x)=f(-x)$$

Untuk setiap x dari daerah asal fungsi, nilai fungsinya harus sama walaupun fungsi dipanggil dengan lawan argumennya, yaitu −x.

Bagaimana fungsi genap terlihat pada grafik? Jika kita memasukkan x dan −x ke dalam fungsi, diperoleh y yang sama. Coba pikirkan: x dan −x pada sumbu x berjarak sama dari titik asal, dan keduanya mempunyai koordinat y yang sama. Artinya, grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu y. Sebagai ilustrasi, berikut grafik fungsi x²:

Di antara fungsi-fungsi yang umum, yang termasuk fungsi genap adalah kosinus dan fungsi berbentuk f(x) = x^a dengan a bilangan genap. Fungsi ganjil dapat diubah menjadi fungsi genap dengan nilai mutlak, misalnya f(x) = |x|, f(x) = |x³|, f(x) = |1/x|.

Fungsi ganjil

Fungsi ganjil harus memenuhi aturan yang mirip dengan fungsi genap. Fungsi f disebut ganjil jika memenuhi aturan berikut:

$$\mathrm{\forall }x\in D_f:f(-x)=-f(x)$$

Dalam praktiknya, jika titik (a, b) terletak pada grafik fungsi ganjil, titik dengan koordinat lawannya, yaitu (−a, −b), juga harus terletak pada grafik tersebut. Contoh fungsi ganjil adalah f(x) = x³. Jika x kita ganti dengan 2, diperoleh:

$$f(-x)=f(-2)=(-2{)}^3=-8$$

Pada bentuk kedua kita peroleh

$$-f(x)=-f(2)=-(2^3)=-8$$

Bagaimana hal ini terlihat pada grafik? Apa artinya jika titik (a, b) dan sekaligus (−a, −b) terletak pada grafik fungsi? Jika kamu menggambarnya, akan terlihat bahwa grafik seperti itu simetris terhadap titik asal, yaitu titik (0, 0). Grafik fungsi f(x) = x³ ditunjukkan pada gambar berikut.

Di antara fungsi-fungsi yang umum, yang termasuk fungsi ganjil adalah f(x) = x^a dengan a ganjil, serta f(x) = ax dengan a bilangan real sembarang (yaitu fungsi linear tanpa konstanta). Selain itu, f(x) = a/x dan sinus juga fungsi ganjil.

Memeriksa fungsi genap

Bagaimana cara memeriksa apakah suatu fungsi genap? Kita harus memakai definisi. Ambil, misalnya, fungsi yang sudah kita kenal, f(x) = x². Kita periksa dengan definisi, yang menyatakan f(x) = f(−x). Jika fungsi ini genap, harus berlaku:

$$x^2=(-x{)}^2$$

Menurut aturan perpangkatan, kuadrat dari −x dapat diuraikan seperti ini:

$$x^2=(-1{)}^2\cdot x^2$$

Negatif satu dikuadratkan hasilnya satu, jadi kita kembali memperoleh x².

$$x^2=1\cdot x^2$$

Apakah fungsi berikut fungsi genap?

$$f(x)=\left|\frac{1}{x}\right|$$

Substitusikan ke definisi:

$$\left|\frac{1}{x}\right|=\left|\frac{1}{-x}\right|$$

Pecahan ini dapat diubah: alih-alih mengenakan nilai mutlak pada seluruh pecahan, kita kenakan nilai mutlak pada pembilang dan penyebutnya masing-masing.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|-x|}$$

Kita ubah penyebut pecahan kedua, karena menurut definisi nilai mutlak jelas berlaku |x| = |−x|.

$$\frac{|1|}{|x|}=\frac{|1|}{|x|}$$

Sekarang kedua ruas sama.

Memeriksa fungsi ganjil

Bagaimana cara memeriksa apakah suatu fungsi ganjil? Sekali lagi kita memakai definisi. Menurut definisi, fungsi f ganjil jika

$$f(-x)=-f(x)$$

Kita mulai dengan fungsi f(x) = x³. Substitusikan ke definisi:

$$(-x{)}^3=-x^3$$

Ruas kiri dapat diuraikan seperti pada contoh sebelumnya:

$$(-1{)}^3\cdot x^3=-x^3$$

Negatif satu pangkat tiga adalah negatif satu:

$$-1\cdot x^3=-x^3$$

Jadi, kedua ruas sama:

$$-x^3=-x^3$$

Fungsi ini ganjil.

Apakah fungsi berikut fungsi ganjil?

$$f(x)=\frac{2}{x}$$

Substitusikan ke definisi:

$$\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$$

Tidak banyak yang perlu diubah. Tanda minus pada pecahan pertama cukup kita keluarkan ke depan pecahan, sehingga kedua ruas sama:

$$-\frac{2}{x}=-\frac{2}{x}$$

Fungsi ini ganjil.

Tidak genap dan tidak ganjil

Fungsi tidak harus genap atau ganjil. Mungkin sebagian besar fungsi justru seperti itu. Sebagai contoh, ambil fungsi linear f(x) = x + 1. Kita coba substitusikan ke definisi fungsi genap:

$$x+1=-x+1$$

Nyatakan x:

$$\begin{array}{rcl}x+1& =& -x+1\\ 2x+1& =& 1\\ 2x& =& 0\end{array}$$

Kesamaan ini tidak berlaku untuk semua x, tetapi hanya untuk nilai tertentu, jadi fungsi ini tidak genap. Sekarang periksa sifat ganjilnya:

$$\begin{array}{rcl}-x+1& =& -(x+1)\\ -x+1& =& -x-1\\ 0x& =& -2\end{array}$$

Persamaan ini bahkan tidak pernah mempunyai penyelesaian, sehingga fungsi ini tidak ganjil.

Genap sekaligus ganjil

Adakah fungsi yang genap sekaligus ganjil? Adakah grafik fungsi yang simetris terhadap sumbu y dan sekaligus terhadap titik asal? Jawabannya: ada. Hanya ada satu fungsi yang genap sekaligus ganjil, yaitu fungsi konstan f(x) = 0. Grafiknya berimpit dengan sumbu x.

Catatan: sebenarnya ada tak berhingga banyak fungsi seperti itu, karena kita dapat mendefinisikan fungsi g(x) dengan rumus yang sama, tetapi dengan daerah asal yang berbeda. Daerah asal itu harus simetris terhadap nol: bersama setiap bilangan harus memuat juga lawannya. Misalnya, kita dapat mempunyai fungsi g(x) = 0 dengan daerah asal hanya himpunan bilangan bulat. Fungsi ini berbeda dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada bilangan real. Meskipun demikian, rumusnya selalu sama.

Fungsi gabungan

Keadaan yang menarik muncul jika kita mempunyai dua fungsi genap atau ganjil, lalu mencoba menjumlahkan, mengalikan, atau menggabungkannya dengan cara lain. Misalnya, jumlah dua fungsi genap juga merupakan fungsi genap. Aturan dan kombinasinya cukup banyak.