Съставяне на функции

Една функция не може да направи много. Затова е възможно функциите да се съставят.

Мотивация

Нека имаме две функции. Например функция, която ни пресмята броя на изминатите километри с един литър бензин. Да кажем, че нашата кола изминава с един литър бензин 10 километра. Тази функция ще означим с f и ще я определим като f(x) = 10x, където параметърът x показва колко литра бензин имаме. Така че ако имаме в резервоара шест литра бензин, колата ще измине още f(6) = 10 · 6 = 60 километра.

Втората функция може да ни пресметне колко литра бензин ще си купим за дадена сума в евро. Да кажем, че литърът бензин струва 2 евро. Тогава функцията, ще я означим с g, би изглеждала така: g(x) = x / 2, където x показва за колко евро искаме да купим бензин. Ако имаме 10 евро, бихме купили g(10) = 10 / 2 = 5 литра бензин.

Сега бихме могли да попитаме: колко километра още ще изминем, ако купим бензин за 100 евро?

Вече имаме функции, които пресмятат всяка по една частична величина – броя на изминатите километри в зависимост от литрите и броя на купените литри бензин в зависимост от парите. Сега трябва да съставим двете функции.

Как да го решим

Бихме могли да го решим, като първо пресметнем колко литра бензин бихме купили и след това колко километра бихме изминали. Нека опитаме. За 100 евро бихме купили g(100) = 100 / 2 = 50 литра бензин. А с 50 литра бензин бихме изминали f(50) = 10 · 50 = 500 километра.

Можем обаче да го решим и по друг начин – със съставяне на функции. Можем да определим нова функция h, която ще взема на входа сумата пари, а на изхода ще ни връща броя на изминатите километри. Функцията h определяме с помощта на функциите f и g така:

$$h(x)=f(g(x))$$

Така определената функция h всъщност прави това, което пресметнахме в първия абзац. Казва ни, че когато получим стойността x, тоест сумата пари, трябва първо да пресметнем стойността g(x), която е броят на литрите, които ще купим за нея. Тази получена стойност g(x), в нашия случай g(100) = 50, трябва да вложим още във функцията f, така че пресмятаме още f(50) = 500.

Можем да получим и директния запис на функцията h. Вземаме функцията f и всички срещания на параметъра x заместваме с функцията g. Функцията f изглежда така: f(x) = 10x и ние вместо параметъра x заместваме функцията x / 2. Така получаваме функцията h:

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{2}\right)$$

Преобразуваме/съкращаваме:

$$h(x)=5x$$

Сега съставихме функциите f и g в получената нова функция h, която ни пресмята колко километра ще изминем с бензин на стойност x евро. Можем да го проверим, като вложим във функцията онези добри стари 100 евро:

$$h(100)=5\cdot 100=500.$$

Резултатът съвпада с предишното ни пресмятане.

Съставяне на по-сложни функции

Нека функциите f и g са определени така:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

Нека сега опитаме да съставим функциите така: f(g(x)). Вземаме функцията f и вместо всички срещания на параметъра x влагаме, за по-сигурно в скоби, функцията g:

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

Ако бяхме съставили функциите наобратно, щяхме да получим:

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

За съставянето на функции се използва символът кръгче: f ∘ g. Проблемът е, че понякога този запис означава съставяне в посока f(g(x)), а друг път – g(f(x)). Символиката в този случай е малко нееднозначна, така че по-добре винаги проверявай какво точно се има предвид.