Daerah asal fungsi

Daerah asal (domain) fungsi adalah semua nilai yang boleh disubstitusikan ke variabel x pada fungsi f(x) sehingga fungsi tersebut bermakna.

Apa itu daerah asal fungsi

Contoh sederhananya adalah fungsi f(x) = 1/x. Daerah asal adalah himpunan semua nilai yang, jika disubstitusikan ke fungsi 1/x, menghasilkan bentuk yang sah.

Untuk mengetahui apa itu “bentuk yang sah”, kita harus mengenal sifat-sifat fungsi dan operasi. Dalam fungsi kita, bilangan dibagi dengan variabel x, karena x berada di penyebut pecahan. Dengan bilangan apa saja kita boleh membagi? Dengan semua bilangan kecuali nol. Pembagian dengan 0 tidak dapat dilakukan, sehingga penyebut pecahan tidak boleh 0. Selain itu, pembagian tidak mempunyai batasan lain.

Karena itu, x boleh diganti dengan bilangan real apa pun kecuali nol. Jadi, daerah asalnya adalah D_f = ℝ ∖ {0}. Daerah asal biasanya ditulis dengan huruf D yang diberi indeks berupa nama fungsi yang daerah asalnya kita tentukan.

Yang baru kita hitung adalah daerah asal yang terbesar. Namun, karena daerah asal kita definisikan sebagai himpunan nilai yang boleh disubstitusikan ke x, setiap himpunan bagian dari daerah asal juga dapat menjadi daerah asal. Kadang ada gunanya membatasi fungsi hanya untuk nilai x tertentu. Misalnya, pada barisan kita hanya memakai bilangan asli, dan dalam trigonometri sering hanya dipakai interval [0, 2π].

Meskipun demikian, jika suatu soal meminta kita menentukan daerah asal fungsi, biasanya yang dimaksud adalah daerah asal yang terbesar.

Daerah asal juga dapat dibaca dari grafik fungsi. Sebagai contoh, kita ambil grafik fungsi tadi, yaitu f(x) = 1/x.

Jika grafik diproyeksikan ke sumbu x, diperoleh daerah asalnya. Jika suatu titik x bukan anggota daerah asal, garis tegak lurus sumbu x yang melalui titik itu tidak memotong grafik sama sekali. Terlihat bahwa hanya nol yang memenuhi syarat ini: “di atas maupun di bawahnya” tidak ada titik grafik fungsi. Semua bilangan lainnya mempunyai titik grafik.

Menentukan daerah asal

Untuk menentukan daerah asal suatu fungsi komposisi, kamu harus mengetahui daerah asal semua fungsi penyusunnya. Tanpa itu tidak mungkin. Jika saya memintamu menentukan daerah asal fungsi f(x) = satu(x) + dua(x), kamu tidak akan berhasil karena tidak tahu bagaimana fungsi satu dan dua didefinisikan. Berikut daerah asal beberapa fungsi elementer:

• Logaritma mempunyai D_f = (0, ∞).
• Akar kuadrat mempunyai D_f = [0, ∞).
• Tangen mempunyai D_f = ℝ ∖ {π/2 + kπ}; k ∈ ℤ.
• Kotangen mempunyai D_f = ℝ ∖ {kπ}; k ∈ ℤ.
• Fungsi eksponensial mempunyai D_f = ℝ.
• Fungsi linear dan fungsi kuadrat mempunyai D_f = ℝ.

Jika hanya ada satu fungsi, soalnya sangat mudah. Kita cari tahu daerah asal fungsi itu, perhatikan argumennya, lalu tuliskan syaratnya sebagai persamaan atau pertidaksamaan. Contoh: tentukan daerah asal fungsi log(3x + 2). Numerus logaritma harus positif, sehingga harus berlaku 3x + 2 > 0. Ini adalah pertidaksamaan linear yang mudah diselesaikan:

$$\begin{array}{rcl}3x+2& >& 0\\ 3x& >& -2\\ x& >& -\frac{2}{3}\end{array}$$

Daerah asalnya adalah semua x yang memenuhi pertidaksamaan ini, jadi D_f = (−2/3, ∞).

Tentukan daerah asal $\sqrt{2x+8}$.

Bilangan di bawah tanda akar tidak boleh negatif, sehingga kita selesaikan pertidaksamaan 2x + 8 ≥ 0 dan memperoleh hasil berikut:

$$\begin{array}{rcl}2x+8& \ge & 0\\ 2x& \ge & -8\\ x& \ge & -4\end{array}$$

Jadi, D_f = [−4, ∞).

Tentukan daerah asal 1/x².

Penyebut tidak boleh nol, sehingga kita selesaikan x² ≠ 0. Syarat ini dipenuhi jika x ≠ 0, jadi D_f = ℝ ∖ {0}.

Menguraikan fungsi komposisi

Pada fungsi komposisi keadaannya sedikit lebih rumit, karena kita harus memperhitungkan beberapa fungsi yang saling memengaruhi dan berturut-turut mempersempit daerah asal. Ambil contoh berikut:

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

Di sini harus dipenuhi dua syarat. Bentuk di bawah tanda akar harus lebih besar daripada atau sama dengan nol, tidak boleh negatif. Jadi, x ≥ 0. Namun, akar itu terletak di penyebut pecahan, sehingga hasil akarnya tidak boleh nol, sebab pecahannya tidak akan bermakna. Karena itu, syarat tadi diperketat menjadi x > 0.

Contoh-contoh lain dikerjakan dengan cara serupa. Yang penting adalah menentukan urutan fungsi yang bertingkat: kita harus mengetahui fungsi mana yang merupakan fungsi dalam dan fungsi mana yang merupakan fungsi luar. Pada contoh tadi hal itu jelas: fungsi dalamnya adalah akar dan fungsi luarnya adalah pecahan. Jika bentuk itu dihitung secara manual, kita terlebih dahulu menarik akar dari x, baru kemudian menghitung pecahannya. Ini cara yang cukup membantu: fungsi paling dalam adalah fungsi yang pertama kali kamu hitung jika menghitungnya secara manual. Contoh lain:

$$f(x)=\sqrt[5]{(\ln (\text{tan}(x)){)}^3}$$

Sekarang kita dapat memakai cara sebaliknya, yaitu mencari fungsi luar. Fungsi luar “membungkus” fungsi dalam. Di sini jelas akar pangkat lima membungkus semua fungsi lainnya. Selanjutnya, pangkat tiga membungkus hasil logaritma, logaritma membungkus tangen, dan akhirnya tangen membungkus variabel x. Mudah, bukan? Dengan cara yang pertama, kita dapat memandangnya seperti ini: jika nilai x diketahui, nilai itu pertama-tama dimasukkan ke tangen. Jadi, tangen adalah fungsi paling dalam. Hasilnya dimasukkan ke logaritma, sehingga logaritma adalah fungsi paling dalam kedua. Hasil itu kemudian dipangkatkan, dan akhirnya ditarik akarnya.

Uraikan fungsi komposisi berikut:

$$f(x)=\sin \frac{42}{\ln ({10}^{2x+3})}$$

Kita mulai dari fungsi luar, yaitu sinus. Berikutnya pecahan, lalu logaritma, kemudian fungsi eksponensial (bayangkan substitusi 10^a), dan terakhir fungsi linear 2x + 3.

Uraikan fungsi komposisi berikut:

$$f(x)=2^{\frac{1}{\sqrt{3x}}}$$

Fungsi luarnya adalah fungsi eksponensial 2^a. Berikutnya pecahan, lalu akar di penyebut pecahan, dan terakhir fungsi linear 3x.

Daerah asal fungsi komposisi

Jika kamu sudah dapat menguraikan fungsi menjadi fungsi luar dan fungsi dalam, menentukan daerah asal tidak akan menjadi masalah lagi. Mari kita lihat langsung pada contoh:

$$f(x)=\frac{47}{\sin (x)-1}$$

Kita mulai dari pecahan. Penyebutnya tidak boleh sama dengan nol. Kita tuliskan:

$$\begin{array}{rcl}\sin (x)-1& \ne & 0\\ \sin (x)& \ne & +1\end{array}$$

Dari sifat fungsi sinus kita tahu bahwa nilai 1 dicapai di titik x = π/2. Karena sinus adalah fungsi periodik, diperoleh himpunan M = {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ. Ini adalah himpunan nilai yang membuat penyebut bernilai nol. Nilai-nilai x ini tidak boleh disubstitusikan ke fungsi kita.

Namun, itu belum semuanya. Kita juga harus memperhatikan daerah asal fungsi sinus. Untungnya daerah asal sinus adalah ℝ, sehingga tidak memberi batasan apa pun. Batasan hanya berasal dari penyebut pecahan. Jadi, D_f = ℝ ∖ {π/2 + 2kπ}; k ∈ ℤ.