합성함수

함수 하나로 할 수 있는 일은 많지 않다. 그래서 함수를 합성할 수 있다.

들어가며

함수가 두 개 있다고 하자. 예를 들어 휘발유 1 L로 몇 km를 갈 수 있는지 계산하는 함수가 있다. 자동차가 휘발유 1 L로 10 km를 간다고 하자. 이 함수를 f라고 하고 f(x) = 10x로 정의한다. 여기서 변수 x는 휘발유가 몇 L 있는지를 나타낸다. 연료 탱크에 휘발유가 6 L 있다면 자동차는 앞으로 f(6) = 10 · 6 = 60 km를 갈 수 있다.

두 번째 함수는 주어진 돈으로 휘발유를 몇 L 살 수 있는지 계산한다. 휘발유 1 L가 1,500원이라고 하자. 이 함수를 g라고 하면 g(x) = x / 1500이고, 여기서 x는 휘발유를 사는 데 쓰는 돈(원)이다. 7,500원이 있다면 휘발유를 g(7500) = 7500 / 1500 = 5 L 살 수 있다.

이제 이렇게 물을 수 있다. 37,500원어치 휘발유를 사면 몇 km를 더 갈 수 있을까?

부분적인 계산을 하는 함수는 이미 있다. 휘발유의 양에 따라 갈 수 있는 거리와, 돈에 따라 살 수 있는 휘발유의 양이다. 이제 두 함수를 합성해야 한다.

푸는 방법

먼저 휘발유를 몇 L 살 수 있는지 구하고, 그다음 몇 km를 갈 수 있는지 구하면 된다. 해 보자. 37,500원으로는 휘발유를 g(37500) = 37500 / 1500 = 25 L 살 수 있다. 그리고 휘발유 25 L로는 f(25) = 10 · 25 = 250 km를 갈 수 있다.

함수를 합성해서 다르게 풀 수도 있다. 돈을 넣으면 갈 수 있는 거리를 내놓는 새 함수 h를 정의하자. 함수 h는 함수 f와 g를 이용해 다음과 같이 정의한다.

$$h(x)=f(g(x))$$

이렇게 정의한 함수 h는 앞에서 계산한 것을 그대로 한다. 값 x, 즉 돈이 주어지면 먼저 그 돈으로 살 수 있는 휘발유의 양 g(x)를 계산한다. 그리고 그 결과 g(x), 여기서는 g(37500) = 25를 다시 함수 f에 넣어 f(25) = 250을 계산한다.

함수 h의 식을 직접 구할 수도 있다. 함수 f의 식에서 변수 x를 모두 함수 g로 바꾸면 된다. 함수 f는 f(x) = 10x이고, 변수 x에 함수 x / 1500을 대입한다. 그러면 함수 h를 얻는다.

$$h(x)=10\cdot \left(\frac{x}{1500}\right)$$

정리하고 약분하면 다음과 같다.

$$h(x)=\frac{x}{150}$$

이렇게 함수 f와 g를 합성하여 새로운 함수 h를 만들었다. 이 함수는 x원어치 휘발유로 몇 km를 갈 수 있는지 계산한다. 이미 익숙한 37,500원을 넣어 확인해 보자.

$$h(37500)=\frac{37500}{150}=250.$$

앞의 계산 결과와 같다.

더 복잡한 함수의 합성

함수 f와 g가 다음과 같이 정의되어 있다고 하자.

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& \sin (x)\cdot x^2-4\\ g(x)& =& \frac{x+1}{x-1}+5\end{array}$$

이제 두 함수를 f(g(x))로 합성해 보자. 함수 f에서 변수 x가 나오는 곳마다 함수 g를 넣는다. 괄호로 감싸 두는 것이 안전하다.

$$f(g(x))=\sin (\frac{x+1}{x-1}+5)\cdot {(\frac{x+1}{x-1}+5)}^2-4$$

반대로 합성하면 다음을 얻는다.

$$g(f(x))=\frac{(\sin (x)\cdot x^2-4)+1}{(\sin (x)\cdot x^2-4)-1}+5$$

함수의 합성은 작은 동그라미 기호 f ∘ g로 나타낸다. 다만 이 기호가 f(g(x))를 뜻할 때도 있고 g(f(x))를 뜻할 때도 있다. 한국 교과서에서는 (f ∘ g)(x) = f(g(x))로 쓰지만, 책마다 다를 수 있으니 어떤 뜻으로 쓰였는지 항상 확인하자.