Цели числа

Целите числа са числа, които нямат дробна част. Съдържат естествените числа, противоположните им (отрицателни) числа и нулата.

Свойства

Целите числа образуват множество, което съдържа числата …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Множеството обикновено означаваме с буквата Z с удвоена средна черта: ℤ, от немското „Zahlen“ (числа). Целите числа образуват безкрайно и изброимо множество.

Целите числа имат например следните свойства:

1. Затворени са относно операциите събиране и умножение, също като естествените числа. Това означава, че ако съберем две цели числа, отново получаваме цяло число.
2. За разлика от естествените числа целите числа са затворени и относно изваждането. Естествените числа не бяха, защото като разлика на две естествени числа можехме да получим отрицателно число. Което при целите числа не ни пречи, защото те съдържат отрицателните числа.
3. Също като естествените числа не са затворени относно делението. Все още е вярно, че след деление можем да получим нецяло число.
4. За всяко цяло число c съществува противоположно число −c. Ако имаме числото 10, противоположното число е −10. За 55 то е −55. Същото важи и за отрицателните числа: за −13 противоположният елемент е 13. Ако имаме цяло число c и противоположното му число −c, то сборът им е нула: c + (−c) = 0. Затова противоположният елемент на нулата отново е нула.

Четни и нечетни числа

Целите числа можем да разделим на четни и нечетни. Четните числа са числата, които се делят на две, тоест 2, −4, −8, 40, 124 и т.н. Нечетните числа дават при деление на две остатък едно, тоест това са числата −1, 1, 5, 19, −41 и т.н. Забележи, че наистина и при отрицателните числа различаваме четност и нечетност (т.е. числото −5 наистина е нечетно) и че нулата е четно число.

Свойства спрямо операцията събиране: ако съберем две четни числа, получаваме отново четно число. Останалите свойства показва следващата таблица:

$$\begin{array}{rcl}\text{четно}+\text{четно}& =& \text{четно}\\ \text{четно}+\text{нечетно}& =& \text{нечетно}\\ \text{нечетно}+\text{нечетно}& =& \text{четно}\end{array}$$

Подобна таблица за умножението:

$$\begin{array}{rcl}\text{четно}\cdot \text{четно}& =& \text{четно}\\ \text{четно}\cdot \text{нечетно}& =& \text{четно}\\ \text{нечетно}\cdot \text{нечетно}& =& \text{нечетно}\end{array}$$

Деление с остатък

И в множеството на целите числа можем, подобно на естествените числа, да определим деление с остатък, само че трябва да се справим с отрицателните числа. Затова основното определение този път изглежда така:

$$a=q\cdot b+r,a,q\in \mathbb{Z},b\in \mathbb{Z}-\left\{0\right\},0\le r<|b|$$

В този израз делим a:b, числото q е частното, а числото r – остатъкът при делението. Числото b трябва да е различно от нула, не можем да делим на нула. Остатъкът трябва да е неотрицателен и да е по-малък от абсолютната стойност на b, което гарантира, че частното и остатъкът се определят еднозначно.

Как би изглеждало такова деление? Да опитаме да разделим −21:4. Тогава числата изглеждат така:

$$-21=-6\cdot 4+3$$

Частното е −6, а остатъкът е 3. Може да те изненада, че резултатът е различен от случая, в който всички числа са положителни:

$$21=5\cdot 4+1$$

Тук частното е 5, а остатъкът е 1. Разликата идва именно от отрицателните числа. При положителните числа в първата стъпка търсим най-голямото цяло число, което не е по-голямо от 21 и се дели на четири без остатък. Това е числото 20. Затова делим 20:4 = 5 и получаваме търсеното 5. Остатъка получаваме като разлика 21 − 20.

При отрицателните числа действаме по същия начин. Търсим най-голямото число, което не е по-голямо от −21 и се дели без остатък на 4. Числото −20 обаче е по-голямо от −21. Затова най-голямото число, което не е по-голямо от −21 и се дели без остатък на 4, е числото −24. Остатъкът пак получаваме като разлика −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Свързани статии

• Делимост на 2
• Делимост на 3
• Делимост на 4
• Делимост на 5
• Делимост на 6
• Делимост на 7
• Делимост на 8
• Делимост на 9
• Делимост на 10
• Делимост на 11

Връзки

• Уикипедия