✖

Egész számok

Az egész számok olyan számok, amelyeknek nincs tizedes részük; tartalmazzák a természetes számokat, ezek ellentettjeit (a negatív számokat) és a nullát.

Tulajdonságok

Repkedő számok

Az egész számok halmazt alkotnak, amely a …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … számokat tartalmazza. A halmazt általában a Z betűvel jelöljük, amelynek a középső vonala kettős: ℤ, a német „Zahlen” (számok) szóból. Az egész számok végtelen és megszámlálható halmazt alkotnak.

Az egész számoknak például a következő tulajdonságaik vannak:

  1. Zártak az összeadásra és a szorzásra, ugyanúgy, mint a természetes számok. Ez azt jelenti, hogy ha összeadunk két egész számot, megint egész számot kapunk.
  2. A természetes számokkal ellentétben az egész számok a kivonásra is zártak. A természetes számok nem voltak azok, mert két természetes szám különbsége negatív szám is lehetett. Az egész számoknál ez nem baj, hiszen a negatív számokat is tartalmazzák.
  3. A természetes számokhoz hasonlóan nem zártak az osztásra. Továbbra is igaz, hogy az osztás eredménye nem egész szám is lehet.
  4. Minden c egész számnak létezik ellentettje, a −c. Ha a számunk a 10, az ellentettje −10. Az 55 ellentettje −55. Ugyanígy a negatív számoknál is: a −13 ellentettje 13. Ha van egy c egész számunk és az ellentettje, −c, akkor az összegük nulla: c + (−c) = 0. Ezért a nulla ellentettje megint a nulla.

Páros és páratlan számok

Az egész számokat feloszthatjuk páros és páratlan számokra. A páros számok a kettővel osztható számok, tehát 2, −4, −8, 40, 124 stb. A páratlan számokat kettővel osztva egy a maradék, vagyis ilyenek a −1, 1, 5, 19, −41 stb. Figyeld meg, hogy a negatív számoknál is megkülönböztetjük a párosságot és a páratlanságot (azaz a −5 valóban páratlan), és hogy a nulla páros szám.

Tulajdonságok az összeadásra: ha két páros számot adsz össze, megint párosat kapsz. A többi tulajdonságot a következő táblázat mutatja:

páros+páros=párospáros+páratlan=páratlanpáratlan+páratlan=páros

Hasonló táblázat a szorzásra:

páros⋅páros=párospáros⋅páratlan=párospáratlan⋅páratlan=páratlan

Maradékos osztás

Az egész számok halmazán is értelmezhetjük a maradékos osztást, a természetes számokhoz hasonlóan, csak a negatív számokkal kell megbirkóznunk. Az alapvető definíció ezúttal így néz ki:

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

Ebben a kifejezésben a:b osztást végzünk, a q szám az eredmény (hányados), az r szám pedig az osztás maradéka. A b szám nem lehet nulla, nullával nem oszthatunk. A maradék nem lehet negatív, és kisebbnek kell lennie, mint a b abszolút értéke, így a hányados és a maradék egyértelmű.

Hogyan nézne ki egy ilyen osztás? Próbáljuk meg elosztani a −21-et 4-gyel. A számok így néznének ki:

−21=−6⋅4+3

Az eredmény (hányados) −6, a maradék pedig 3. Meglepődhetsz, hogy az eredmény más, mint amikor minden szám pozitív lenne:

21=5⋅4+1

Itt az eredmény (hányados) 5, a maradék pedig 1. A különbség éppen a negatív számokban van. A pozitív számoknál ugyanis az első lépésben megkeressük a legnagyobb olyan egész számot, amely nem nagyobb 21-nél, és maradék nélkül osztható néggyel. Ez a 20. Ezért elosztjuk: 20:4 = 5, és megkapjuk az ötöst. A maradékot ezután a 21 − 20 különbség adja.

A negatív számoknál ugyanígy járunk el. Keressük a legnagyobb olyan számot, amely nem nagyobb −21-nél, és maradék nélkül osztható 4-gyel. A −20 viszont nagyobb, mint −21. Ezért a legnagyobb olyan szám, amely nem nagyobb −21-nél, és maradék nélkül osztható 4-gyel, a −24. A maradékot megint a különbség adja: −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

Kapcsolódó cikkek

Hivatkozások