Trigonometriske ligninger

Trigonometriske ligninger er ligninger, som indeholder en trigonometrisk funktion, altså sinus, cosinus, tangens eller cotangens.

Grundlæggende trigonometrisk ligning

Lad os tage ligningen sin x = 0. For hvilke x gælder denne ligning? Hvornår er sinus lig med nul? Vi begynder med at se på grafen:

Vi finder ud af, at sin x er lig med nul ret ofte. Konkret for værdierne −π, 0, π, 2π og mange andre. Fordi sinus er en periodisk funktion, vil der være regelmæssige intervaller mellem de enkelte løsninger til ligningen — i dette tilfælde intervaller med længden π. Derfor kan vi skrive mængden af alle løsninger til denne ligning som en mængde, lad os kalde den L, som vi definerer sådan her:

$$L=\{K\cdot \pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

Det er altså alle K-multipla af tallet pi, hvor K er et helt tal. Dermed har vi beskrevet mængden af alle løsninger til ligningen sin x = 0.

Husk, at sinus og cosinus har værdimængde i intervallet [−1; 1], så ligningen sin x = 2 har ingen løsning, fordi vi ikke kan finde et x, for hvilket udtrykket sin x har en værdi større end én. Ligningen 3 · sin x = 2 har derimod selvfølgelig en løsning, for vi kan dividere hele udtrykket med tre, og på højre side står der så et tal mindre end én. Vi ville søge løsningerne til ligningen sin x = 2/3.

Beregning af et simpelt eksempel

Simple trigonometriske ligninger løser vi ved for eksempel at aflæse deres værdi af grafen eller af enhedscirklen og finde perioden, som vi lægger til resultatet. Eksempel: løs ligningen

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Grafen for sinus har vi ovenfor, så vi kigger på, hvornår kurven har værdien $\frac{1}{2}$. Vi finder ud af, at det er ved 1/6π og 5/6π. Jeg anbefaler kraftigt at lære de eksakte værdier af trigonometriske funktioner udenad, uden dem hjælper det dig ikke engang at kigge på grafen.

Nu skal vi bestemme perioden, så vi ved, hvordan vi konstruerer mængden af alle løsninger. Funktionen sinus har perioden 2π — når du kigger på grafen, finder du ud af, at funktionen begynder at gentage sig efter hver 2π.

Hvis én løsning til ligningen er 1/6π, så må også et hvilket som helst tal 1/6π + 2Kπ, hvor K er et helt tal, være en løsning til ligningen, fordi sinus i dette punkt har samme funktionsværdi. Det 2K betyder bare, at vi kun vil have lige hele tal. Når du indsætter et hvilket som helst helt tal for K og ganger det med to, får du et lige tal. Helt det samme gælder for den anden løsning, 5/6π. I punkterne 5/6π, 5/6π + 14π og 5/6π − 82π har funktionen sin x samme funktionsværdi, derfor vil alle 5/6π + 2Kπ være løsninger til ligningen.

Vi skriver den endelige mængde L, som bliver foreningsmængden af begge de foregående resultater:

$$L=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

Grafisk kunne vi vise løsningen som skæringen mellem graferne for funktionen sin x (den røde graf) og funktionen $y=\frac{1}{2}$ (den grønne graf).

Hvis vi for K for eksempel indsatte K = 0, ville vi få løsningerne:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Altså x₁ = 1/6π og x₂ = 5/6π. På figuren svarer det til punkterne B og C, fordi deres x-koordinat netop er 1/6π henholdsvis 5/6π. Hvis vi satte K = 1 ind, ville vi få punkterne D og E.

Substitution

Hvis vi har et mere kompliceret udtryk i funktionen, kan vi bruge substitution, altså erstatning. Hvis vi for eksempel vil beregne resultatet af ligningen sin 2x = 1, erstatter vi (foretager en substitution) a = 2x og regner derefter videre med ligningen på formen sin a = 1 på samme måde, som vi viste i det foregående afsnit. Substitution foregår som regel sådan, at vi tager funktionens argument, i dette tilfælde 2x, og skriver en anden ubekendt i stedet for. Vi kan kalde den næsten hvad som helst, her har vi valgt navnet a. Vi kunne roligt foretage substitutionen q = 2x eller appelsin = 2x og så skrive sin appelsin = 1.

Substitutionen forenkler altså det udtryk, vi lige nu regner på. At udtrykket a i virkeligheden er lig med 2x, tager vi os af senere.

Nu løser vi altså ligningen sin a = 1, hvor a er den ubekendte. Vi leder efter, hvornår sinus er lig med én. Vi finder ud af, at sinus er lig med én ved værdien π/2 + 2Kπ. Løsningerne til ligningen sin a = 1 er altså værdierne i mængden

$$L=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}.$$

Til sidst skal vi huske på vores substitution — vi skal føre den tilbage. Vi ved, at løsningerne til ligningen sin a = 1 er elementerne i den foregående mængde L. Men vi vil kende løsningerne til en anden ligning, sin 2x = 1. Vi ved dog, at a = 2x.

Vi prøver at tage én konkret løsning fra løsningsmængden L, for eksempel for K = 1 får vi den konkrete løsning a = π/2 + 2π. I dette punkt har ligningen sin a = 1 en løsning. Fordi a = 2x, gælder samtidig, at 2x = π/2 + 2π (vi har bare skrevet 2x i stedet for a).

Men vi er ikke interesseret i 2x, vi er interesseret i værdien af x, så vi dividerer hele ligningen med to. Dermed får vi ligningen x = π/4 + π. Vi har altså fået én konkret løsning til ligningen sin 2x = 1.

Hvis vi vil have alle løsningerne, skal vi lave denne omformning med alle elementer i mængden L. Vi opstiller altså ligningen således:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

og isolerer x, hvilket betyder, at vi dividerer hele ligningen med to:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Det er den endelige løsning. Vi skriver den også som en mængde, en ny mængde L':

$$L^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

Rigtigheden af løsningen kan vi igen kontrollere grafisk. Den røde er grafen for funktionen sin 2x og den grønne for funktionen y = 1.

Hvis vi for K indsætter K = 0, får vi x = π/4, hvilket repræsenterer punktet C. Hvis vi indsætter K = 2, får vi x = π/4 + 2π, hvilket repræsenterer punktet E.

Formler

Når man regner med trigonometriske ligninger, bruger man ofte alle mulige formler, som du bør kende. Nogle er grundlæggende, andre er mere komplicerede. Trigonometriske formler er flyttet over på deres egen side, så kig dér.

Eksempler

1. Løs ligningen sin(3x − π/2) = 0.

   Vi bruger en simpel substitution a = 3x − π/2 og løser ligningen sin a = 0. Vi ved allerede, at sinus er lig med nul for a = Kπ. Vi indsætter derfor substitutionen tilbage og regner ligningen:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Først flytter vi π/2 over på højre side, dvs. vi lægger π/2 til ligningen:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Og nu dividerer vi ligningen med tre:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Resultatet er altså mængden L₁, defineret sådan:

   $$L_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\mid K\in \mathbb{Z}\}$$

   Igen en figur:

   

   For K = 1 får vi x = π/3 + π/6 = π/2, altså punktet E.

2. Løs ligningen cos²x − sin x = 1.

   Først bruger vi en formel og omskriver cos² x til 1 − sin² x. Vi indsætter tilbage i ligningen og får:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Nu sætter vi sin x uden for parentes:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Da vi har fået venstre side af ligningen skrevet som et produkt, og der på højre side står nul, løser vi ligningerne sin x = 0 og sin(x) + 1 = 0 hver for sig, fordi hele venstre side bliver nul, hvis mindst én faktor er nul.

   Ligningen sin x = 0 har vi allerede løst flere gange, løsningerne er x på formen Kπ, hvor K er et helt tal.

   Den anden ligning, sin(x) + 1 = 0, omskriver vi til ligningen sin(x) = −1. Sinus er lig med minus én for værdierne 3/2π + 2Kπ.

   Alle elementer i den endelige mængde L₂ får vi så som foreningsmængde.

   $$L_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

   Figur:

   

   Vi kan se, at punkterne A, C, D og F har en x-koordinat, der er et multiplum af π, så disse punkter beskrives af den højre mængde i den foregående forening. Og hvis vi i den venstre mængde i foreningen for K indsætter værdien K = 0, får vi x = 3π/2, hvilket svarer til punktet E, og hvis vi sætter K = −1 ind, får vi x = 3π/2 − 2π = −π/2, hvilket svarer til punktet B.

3. Løs ligningen cos² x − sin²x + cos x = 0.

   I første trin anvender vi formlen sin²x = 1 − cos²x og omskriver sinus i anden:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   I næste trin lægger vi det sammen:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Og til sidst foretager vi substitutionen a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Den løser vi nu som en almindelig andengradsligning. Resultater:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Til sidst fører vi substitutionen tilbage og løser de to ligninger cos x = −1 og $\cos x=\frac{1}{2}$ og forener de resulterende mængder. Det er nemt, og den slags har vi allerede løst ovenfor.

4. Løs ligningen sin²x − cos²x = 1.

   Først anvender vi den klassiske formel og udtrykker cosinus ved hjælp af sinus. Vi får:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Vi dividerer med to og trækker én fra:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Nu anvender vi formlen a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Et produkt af to udtryk er nul, når mindst ét af udtrykkene er nul. Hvornår sin x = 1 og sin x = −1, ved vi allerede. Løsningen til den trigonometriske ligning er:

   $$L_4=\{\pi /2+2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

   Figur: