Équations trigonométriques

Les équations trigonométriques sont des équations qui contiennent une fonction trigonométrique, c’est-à-dire le sinus, le cosinus, la tangente ou la cotangente.

Équation trigonométrique élémentaire

Considérons l’équation sin x = 0. Pour quelles valeurs de x cette équation est-elle vérifiée ? Quand le sinus est-il égal à zéro ? Commençons par regarder le graphe :

On constate que sin x vaut zéro assez souvent. Plus précisément, pour les valeurs −π, 0, π, 2π et bien d’autres. Comme le sinus est une fonction périodique, les solutions de l’équation sont séparées par des intervalles réguliers, ici de longueur π. On peut donc écrire l’ensemble de toutes les solutions de cette équation, que nous noterons S, défini ainsi :

$$S=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Ce sont donc tous les multiples Kπ du nombre π, où K est un entier relatif. Nous avons ainsi décrit l’ensemble de toutes les solutions de l’équation sin x = 0.

Rappelons que le sinus et le cosinus ont pour ensemble image l’intervalle [−1 ; 1]. L’équation sin x = 2 n’a donc aucune solution, car on ne trouve aucun x pour lequel sin x serait supérieur à un. En revanche, l’équation 3 · sin x = 2 en a bien une, car on peut diviser toute l’expression par trois et le membre de droite devient alors inférieur à un. Il faudrait alors chercher les racines de l’équation sin x = 2/3.

Calcul d’un exemple simple

Les équations trigonométriques simples se résolvent en lisant leur valeur, par exemple sur le graphe ou sur le cercle trigonométrique, puis en déterminant la période que l’on ajoute au résultat. Prenons l’exemple suivant : résous l’équation

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Le graphe du sinus se trouve plus haut, on regarde donc où la courbe prend la valeur $\frac{1}{2}$. On voit que c’est le cas pour 1/6π et 5/6π. Je te recommande vivement d’apprendre par cœur les valeurs remarquables des fonctions trigonométriques ; sans elles, le graphe ne te sera d’aucune aide.

Il faut maintenant déterminer la période pour savoir comment construire l’ensemble de toutes les solutions. La fonction sinus a pour période 2π : si tu regardes le graphe, tu vois que la courbe se répète tous les 2π.

Puisque 1/6π est une solution, tout nombre 1/6π + 2Kπ, où K est un entier relatif, est lui aussi solution, car en ce point la fonction sinus prend la même image. Le 2K indique simplement que l’on ne retient que les entiers pairs. Si tu remplaces K par n’importe quel entier relatif et que tu le multiplies par deux, tu obtiens un nombre pair. Il en va exactement de même pour la seconde racine, 5/6π. Aux points 5/6π, 5/6π + 14π et 5/6π − 82π, la fonction sin x prend la même valeur, donc toutes les valeurs 5/6π + 2Kπ sont solutions.

On écrit l’ensemble final S, qui est la réunion des deux résultats précédents :

$$S=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Graphiquement, on peut représenter les solutions comme les points d’intersection des courbes de la fonction sin x (en rouge) et de la fonction $y=\frac{1}{2}$ (en vert).

Par exemple, si l’on remplace K par K = 0, on obtient les solutions :

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Donc x₁ = 1/6π et x₂ = 5/6π. Sur la figure, cela correspond aux points B et C, dont l’abscisse vaut précisément 1/6π et 5/6π respectivement. Si l’on remplace K par K = 1, on obtient les points D et E.

Changement de variable

Lorsque la fonction contient une expression plus compliquée, on peut utiliser un changement de variable, c’est-à-dire un remplacement. Par exemple, si l’on veut résoudre l’équation sin 2x = 1, on pose a = 2x (on effectue un changement de variable) et l’on continue à travailler avec l’équation de la forme sin a = 1, exactement comme dans la partie précédente. Le changement de variable consiste en général à prendre l’argument de la fonction, ici 2x, et à le remplacer par une autre inconnue. On peut la nommer comme on veut ; ici nous avons choisi le nom a. On pourrait tout aussi bien poser q = 2x ou orange = 2x et écrire sin orange = 1.

Le changement de variable simplifie ainsi l’expression que nous sommes en train de calculer. Le fait que a soit en réalité égal à 2x sera pris en compte plus tard.

Nous résolvons donc maintenant l’équation sin a = 1, où a est l’inconnue. Nous cherchons quand le sinus vaut un. On trouve que le sinus est égal à un pour la valeur π/2 + 2Kπ. Les racines de l’équation sin a = 1 sont donc les valeurs de l’ensemble

$$S=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

Il nous reste à revenir à la variable initiale, c’est-à-dire à défaire le changement de variable. Nous savons que les solutions de sin a = 1 sont les éléments de l’ensemble S précédent. Mais ce que nous voulons, ce sont les solutions d’une autre équation, sin 2x = 1. Or nous savons que a = 2x.

Prenons d’abord une solution précise de S, par exemple pour K = 1 : on obtient la solution a = π/2 + 2π. Cette valeur est bien solution de l’équation sin a = 1. Comme a = 2x, on a aussi 2x = π/2 + 2π (on a simplement écrit 2x à la place de a).

Mais ce qui nous intéresse n’est pas 2x, c’est la valeur de x : on divise donc toute l’équation par deux. On obtient x = π/4 + π. Nous avons ainsi obtenu une solution précise de l’équation sin 2x = 1.

Pour obtenir toutes les solutions, il faut effectuer cette opération sur tous les éléments de l’ensemble S. On écrit donc l’équation :

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

puis on isole x, ce qui signifie qu’on divise toute l’équation par deux :

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

C’est la solution finale. Écrivons-la encore sous forme d’ensemble, noté S' :

$$S^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

On peut à nouveau vérifier graphiquement que la solution est correcte. En rouge, le graphe de la fonction sin 2x ; en vert, la fonction y = 1.

Si l’on remplace K par K = 0, on obtient x = π/4, qui correspond au point C. Si l’on remplace K par K = 2, on obtient x = π/4 + 2π, qui correspond au point E.

Formules

Pour résoudre des équations trigonométriques, on utilise souvent diverses formules qu’il faut connaître. Certaines sont élémentaires, d’autres plus complexes. Les formules trigonométriques ont été déplacées sur leur propre page : va y jeter un œil.

Exemples

1. Résous l’équation sin(3x − π/2) = 0.

   Utilisons le changement de variable simple a = 3x − π/2 et résolvons l’équation sin a = 0. On sait déjà que le sinus est nul pour a = Kπ. On revient donc à la variable x et l’on résout l’équation :

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   On commence par faire passer π/2 à droite, c’est-à-dire qu’on ajoute π/2 aux deux membres :

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Il ne reste plus qu’à diviser l’équation par trois :

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Le résultat est donc l’ensemble S₁, défini ainsi :

   $$S_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   Encore une figure :

   

   Pour K = 1, on obtient x = π/3 + π/6 = π/2, soit le point E.

2. Résous l’équation cos²x − sin x = 1.

   Commençons par utiliser une formule : on remplace cos² x par 1 − sin² x. On reporte dans l’équation et l’on obtient :

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Maintenant, on met en facteur sin x :

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Le membre de gauche est maintenant sous forme de produit et le membre de droite est nul. Nous résolvons donc séparément les équations sin x = 0 et sin(x) + 1 = 0, car le membre de gauche est nul dès qu’au moins un de ses facteurs l’est.

   L’équation sin x = 0 a déjà été résolue plusieurs fois ; ses solutions sont les x de la forme Kπ, où K est un entier relatif.

   Transformons la seconde équation, sin(x) + 1 = 0, en sin(x) = −1. Le sinus vaut moins un pour les valeurs 3/2π + 2Kπ.

   L’ensemble des solutions S₂ s’obtient par réunion :

   $$S_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Figure :

   

   On voit que les points A, C, D et F ont une abscisse multiple de π ; ils sont donc décrits par l’ensemble de droite de la réunion précédente. Si l’on remplace K par K = 0 dans l’ensemble de gauche, on obtient x = 3π/2, qui correspond au point E ; si l’on remplace K par K = −1, on obtient x = 3π/2 − 2π = −π/2, qui correspond au point B.

3. Résous l’équation cos² x − sin²x + cos x = 0.

   On applique d’abord la formule sin²x = 1 − cos²x et l’on remplace sin² x :

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   À l’étape suivante, on regroupe les termes :

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Puis on effectue le changement de variable a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   On résout cela comme une simple équation du second degré. Les résultats sont :

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Enfin, on revient à la variable initiale et l’on résout les deux équations cos x = −1 et $\cos x=\frac{1}{2}$, puis l’on réunit les ensembles obtenus. C’est simple, et nous l’avons déjà fait plus haut.

4. Résous l’équation sin²x − cos²x = 1.

   On applique d’abord la formule classique et l’on exprime le cosinus à l’aide du sinus. On obtient :

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   On divise par deux et l’on soustrait un :

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   On applique maintenant la formule a² − b² = (a − b)(a + b) :

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Un produit de deux expressions est nul si et seulement si l’une au moins de ces expressions est nulle. On sait déjà quand sin x = 1 et quand sin x = −1. L’ensemble des solutions de l’équation trigonométrique est :

   $$S_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Figure :