Trigonometrische Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, die eine Winkelfunktion enthalten, also Sinus, Kosinus, Tangens oder Kotangens.

Trigonometrische Grundgleichung

Nehmen wir die Gleichung sin x = 0. Für welche x ist diese Gleichung erfüllt? Wann ist der Sinus gleich null? Wir beginnen mit einem Blick auf den Graphen:

Wir sehen, dass sin x ziemlich oft gleich null ist. Konkret für die Werte −π, 0, π, 2π und viele weitere. Weil der Sinus eine periodische Funktion ist, liegen zwischen den einzelnen Lösungen der Gleichung regelmäßige Abstände – in diesem Fall Abstände der Länge π. Deshalb können wir die Menge aller Lösungen dieser Gleichung als Menge schreiben, die wir L nennen und so definieren:

$$L=\{K\cdot \pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

Es sind also alle K-fachen der Zahl Pi, wobei K eine ganze Zahl ist. Damit haben wir die Menge aller Lösungen der Gleichung sin x = 0 beschrieben.

Erinnern wir uns, dass die Wertemenge von Sinus und Kosinus das Intervall [−1; 1] ist. Die Gleichung sin x = 2 hat also keine Lösung, weil wir kein x finden können, für das der Term sin x einen Wert größer als eins hätte. Die Gleichung 3 · sin x = 2 hat natürlich schon eine Lösung, denn wir können den ganzen Term durch drei dividieren, und auf der rechten Seite steht dann eine Zahl kleiner als eins. Wir würden die Lösungen der Gleichung sin x = 2/3 suchen.

Berechnung eines einfachen Beispiels

Einfache trigonometrische Gleichungen lösen wir, indem wir ihren Wert zum Beispiel aus dem Graphen oder aus dem Einheitskreis ablesen und die Periode bestimmen, die wir zum Ergebnis addieren. Beispiel: Löse die Gleichung

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Den Graphen der Sinusfunktion haben wir oben, also schauen wir, wann die Kurve den Wert $\frac{1}{2}$ hat. Wir stellen fest, dass das bei 1/6π und 5/6π der Fall ist. Ich empfehle dir nachdrücklich, die grundlegenden Tabellenwerte der Winkelfunktionen zu lernen, ohne sie hilft dir auch ein Blick auf den Graphen nicht.

Jetzt müssen wir die Periode bestimmen, damit wir wissen, wie wir die Menge aller Lösungen aufstellen. Die Sinusfunktion hat die Periode 2π – wenn du dir den Graphen ansiehst, erkennst du, dass sich die Funktion immer nach 2π zu wiederholen beginnt.

Ist also 1/6π eine Lösung der Gleichung, dann muss auch jede Zahl 1/6π + 2Kπ, wobei K eine ganze Zahl ist, eine Lösung der Gleichung sein, denn an dieser Stelle hat die Sinusfunktion denselben Funktionswert. Das 2K bedeutet nur, dass wir ausschließlich gerade ganze Zahlen wollen. Wenn du für K eine beliebige ganze Zahl einsetzt und mit zwei multiplizierst, erhältst du eine gerade Zahl. Ganz genauso ist es bei der zweiten Lösung, 5/6π. An den Stellen 5/6π, 5/6π + 14π und 5/6π − 82π hat die Funktion sin x denselben Funktionswert, deshalb sind alle 5/6π + 2Kπ Lösungen der Gleichung.

Wir schreiben die resultierende Menge L auf, sie ist die Vereinigung der beiden vorigen Ergebnisse:

$$L=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

Grafisch könnten wir die Lösung als Schnittpunkte der Graphen der Funktion sin x (roter Graph) und der Funktion $y=\frac{1}{2}$ (grüner Graph) darstellen.

Setzen wir z. B. für K den Wert K = 0 ein, erhalten wir die Lösungen:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Also x₁ = 1/6π und x₂ = 5/6π. Im Bild entsprechen dem die Punkte B und C, denn ihre x-Koordinate ist genau 1/6π bzw. 5/6π. Würden wir K = 1 einsetzen, erhielten wir die Punkte D und E.

Substitution

Haben wir in der Funktion einen komplizierteren Term, können wir eine Substitution verwenden, also ein Ersetzen. Wollen wir zum Beispiel die Gleichung sin 2x = 1 lösen, setzen wir a = 2x (wir führen eine Substitution durch) und rechnen weiter mit der Gleichung der Form sin a = 1, genau wie wir es im vorigen Kapitel gezeigt haben. Die Substitution läuft üblicherweise so ab, dass wir das Argument der Funktion nehmen, in diesem Fall 2x, und an seiner Stelle eine andere Unbekannte hinschreiben. Wir können sie ganz beliebig nennen, hier haben wir den Namen a gewählt. Wir könnten genauso gut die Substitution q = 2x oder Orange = 2x durchführen und dann sinOrange = 1 schreiben.

Die Substitution vereinfacht also den Term, den wir gerade berechnen. Damit, dass der Term a in Wirklichkeit gleich 2x ist, befassen wir uns später.

Jetzt lösen wir also die Gleichung sin a = 1, wobei a die Unbekannte ist. Wir suchen, wann der Sinus gleich eins ist. Es ergibt sich, dass der Sinus beim Wert π/2 + 2Kπ gleich eins ist. Die Lösungen der Gleichung sin a = 1 sind also die Elemente der Menge

$$L=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}.$$

Zum Schluss müssen wir uns noch an unsere Substitution erinnern – wir müssen sie rückgängig machen. Wir wissen, dass die Lösungen der Gleichung sin a = 1 die Elemente der vorigen Menge L sind. Wir wollen aber die Lösung einer anderen Gleichung kennen, nämlich sin 2x = 1. Dabei wissen wir jedoch, dass a = 2x ist.

Wir versuchen, aus der Lösungsmenge L eine konkrete Lösung zu nehmen, zum Beispiel erhalten wir für K = 1 die konkrete Lösung a = π/2 + 2π. An dieser Stelle ist die Gleichung sin a = 1 erfüllt. Weil a = 2x ist, gilt zugleich 2x = π/2 + 2π (wir haben nur statt a einfach 2x geschrieben).

Uns interessiert aber nicht 2x, sondern der Wert von x, also dividieren wir die ganze Gleichung durch zwei. So erhalten wir die Gleichung x = π/4 + π. Damit haben wir eine konkrete Lösung der Gleichung sin 2x = 1.

Wollen wir alle Lösungen erhalten, müssen wir diese Umformung mit allen Elementen der Menge L durchführen. Wir stellen also die Gleichung so auf:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

und lösen nach x auf, was bedeutet, dass wir die ganze Gleichung durch zwei dividieren:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Das ist die resultierende Lösung. Wir schreiben sie noch als Menge auf, als neue Menge L':

$$L^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

Die Richtigkeit der Lösung können wir wieder grafisch überprüfen. Rot ist der Graph der Funktion sin 2x und grün die Funktion y = 1.

Setzen wir für K den Wert K = 0 ein, erhalten wir x = π/4, das ist der Punkt C. Setzen wir K = 2 ein, erhalten wir x = π/4 + 2π, das ist der Punkt E.

Formeln

Beim Rechnen mit trigonometrischen Gleichungen werden oft verschiedene Formeln verwendet, die du kennen solltest. Manche sind grundlegend, andere schon komplizierter. Die trigonometrischen Formeln sind auf eine eigene Seite umgezogen, schau also dort nach.

Beispiele

1. Löse die Gleichung sin(3x − π/2) = 0.

   Wir verwenden die einfache Substitution a = 3x − π/2 und lösen die Gleichung sin a = 0. Wir wissen schon, dass der Sinus für a = Kπ gleich null ist. Wir machen also die Substitution rückgängig und lösen die Gleichung:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Zuerst bringen wir π/2 auf die rechte Seite, d. h., wir addieren auf beiden Seiten π/2:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Und jetzt dividieren wir die Gleichung durch drei:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Das Ergebnis ist also die Menge L₁, die so definiert ist:

   $$L_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\mid K\in \mathbb{Z}\}$$

   Wieder ein Bild:

   

   Für K = 1 erhalten wir x = π/3 + π/6 = π/2, also den Punkt E.

2. Löse die Gleichung cos²x − sin x = 1.

   Zuerst nutzen wir eine Formel und zerlegen cos² x in 1 − sin² x. Wir setzen es wieder in die Gleichung ein und erhalten:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Jetzt klammern wir sin x aus:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Weil wir die linke Seite der Gleichung in die Form eines Produkts gebracht haben und auf der rechten Seite null steht, lösen wir getrennt die Gleichungen sin x = 0 und sin(x) + 1 = 0, denn die ganze linke Seite ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist.

   Die Gleichung sin x = 0 haben wir schon mehrmals gelöst, die Lösungen sind x der Form Kπ, wobei K eine ganze Zahl ist.

   Die zweite Gleichung, sin(x) + 1 = 0, formen wir in die Gleichung sin(x) = −1 um. Der Sinus ist gleich minus eins für die Werte 3/2π + 2Kπ.

   Alle Elemente der resultierenden Menge L₂ erhalten wir dann durch die Vereinigung.

   $$L_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

   Das Bild:

   

   Wir sehen, dass die Punkte A, C, D und F als x-Koordinate ein Vielfaches von π haben, diese Punkte beschreibt also die rechte Menge in der vorigen Vereinigung. Und wenn wir in der linken Menge der Vereinigung für K den Wert K = 0 einsetzen, erhalten wir x = 3π/2, was dem Punkt E entspricht, und setzen wir K = −1 ein, erhalten wir x = 3π/2 − 2π = −π/2, was dem Punkt B entspricht.

3. Löse die Gleichung cos² x − sin²x + cos x = 0.

   Im ersten Schritt wenden wir die Formel sin²x = 1 − cos²x an und ersetzen das Quadrat des Sinus:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   Im nächsten Schritt fassen wir es zusammen:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Und zum Schluss führen wir die Substitution a = cos x durch.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Das lösen wir wie eine einfache quadratische Gleichung. Die Ergebnisse:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Zum Schluss machen wir die Substitution rückgängig, lösen das Paar der Gleichungen cos x = −1 und $\cos x=\frac{1}{2}$ und vereinigen die resultierenden Mengen. Das ist einfach, und so etwas haben wir oben schon gelöst.

4. Löse die Gleichung sin²x − cos²x = 1.

   Zuerst wenden wir die klassische Formel an und drücken den Kosinus durch den Sinus aus. Wir erhalten:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Wir dividieren durch zwei und subtrahieren eins:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Jetzt wenden wir die Formel a² − b² = (a − b)(a + b) an:

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Das Produkt zweier Terme ist null, wenn mindestens einer der Terme null ist. Wann sin x = 1 und sin x = −1 gilt, wissen wir schon. Die Lösung der trigonometrischen Gleichung ist:

   $$L_4=\{\pi /2+2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

   Das Bild: