Trigonometriska ekvationer

Trigonometriska ekvationer är ekvationer som innehåller någon trigonometrisk funktion, alltså sinus, cosinus, tangens eller cotangens.

Grundläggande trigonometrisk ekvation

Låt oss ta ekvationen sin x = 0. För vilka x gäller den? När är sinus lika med noll? Vi börjar med att titta på grafen:

Vi ser att sin x är lika med noll ganska ofta. Närmare bestämt för värdena −π, 0, π, 2π och många fler. Eftersom sinus är en periodisk funktion ligger lösningarna med jämna mellanrum, här med avståndet π. Därför kan vi skriva mängden av alla lösningar till ekvationen som en mängd, som vi kallar R och definierar så här:

$$R=\{K\cdot \pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

Det är alla K-multiplar av talet pi, där K är ett heltal. Därmed har vi beskrivit mängden av alla lösningar till ekvationen sin x = 0.

Kom ihåg att sinus och cosinus har värdemängd i intervallet [−1, 1]. Ekvationen sin x = 2 har alltså ingen lösning, eftersom vi inte kan hitta något x för vilket sin x blir större än ett. Ekvationen 3 · sin x = 2 har däremot lösningar, eftersom vi kan dela hela uttrycket med tre, och då står det ett tal som är mindre än ett i högerledet. Vi skulle alltså söka lösningarna till sin x = 2/3.

Lösning av ett enkelt exempel

Enkla trigonometriska ekvationer löser vi genom att avläsa värdet till exempel från grafen eller från enhetscirkeln och sedan bestämma perioden, som vi lägger till resultatet. Exempel: lös ekvationen

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Grafen till sinus har vi ovan, så vi tittar efter när kurvan har värdet $\frac{1}{2}$. Vi ser att det sker vid 1/6π och 5/6π. Jag rekommenderar starkt att du lär dig de exakta värdena för de trigonometriska funktionerna, för utan dem hjälper det inte ens att titta på grafen.

Nu måste vi bestämma perioden för att veta hur vi bygger mängden av alla lösningar. Funktionen sinus har perioden 2π — om du tittar på grafen ser du att funktionen börjar upprepa sig efter varje 2π.

Om en lösning till ekvationen är 1/6π, så måste också varje tal 1/6π + 2Kπ, där K är ett heltal, vara en lösning, eftersom sinus har samma funktionsvärde i den punkten. Uttrycket 2K betyder bara att vi vill ha jämna heltal. Om du sätter in vilket heltal som helst för K och multiplicerar det med två får du ett jämnt tal. Precis likadant för den andra lösningen, 5/6π. I punkterna 5/6π, 5/6π + 14π och 5/6π − 82π har funktionen sin x samma funktionsvärde, så alla 5/6π + 2Kπ är lösningar till ekvationen.

Vi skriver den slutliga mängden R, som är unionen av de två tidigare resultaten:

$$R=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

Grafiskt kan vi visa lösningen som skärningen mellan graferna till funktionerna sin x (röd graf) och $y=\frac{1}{2}$ (grön graf).

Om vi till exempel sätter in K = 0 får vi lösningarna:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Alltså är x₁ = 1/6π och x₂ = 5/6π. I figuren motsvarar de punkterna B och C, eftersom deras x-koordinat är just 1/6π respektive 5/6π. Om vi sätter in K = 1 får vi punkterna D och E.

Substitution

Om funktionen innehåller ett mer komplicerat uttryck kan vi använda substitution, det vill säga ersättning. Om vi till exempel vill lösa ekvationen sin 2x = 1 ersätter vi (gör en substitution) a = 2x och räknar sedan vidare med ekvationen sin a = 1, precis som vi visade i föregående avsnitt. En substitution går oftast till så att vi tar funktionens argument, här 2x, och skriver en annan obekant i stället. Du kan döpa den hur du vill, här har vi valt namnet a. Vi kunde lika gärna göra substitutionen q = 2x eller apelsin = 2x och sedan skriva sin apelsin = 1.

Substitutionen förenklar uttrycket vi räknar med. Att uttrycket a i själva verket är lika med 2x tar vi hand om senare.

Nu löser vi alltså ekvationen sin a = 1, där a är den obekanta. Vi söker när sinus är lika med ett. Det visar sig att sinus är lika med ett vid värdet π/2 + 2Kπ. Lösningarna till ekvationen sin a = 1 är alltså värdena i mängden

$$R=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}.$$

Till sist måste vi komma ihåg vår substitution — vi måste byta tillbaka. Vi vet att lösningarna till ekvationen sin a = 1 är elementen i mängden R ovan. Men vi vill veta lösningarna till en annan ekvation, sin 2x = 1. Vi vet dock att a = 2x.

Vi kan prova att ta en konkret lösning ur mängden R, till exempel för K = 1 får vi lösningen a = π/2 + 2π. I den punkten är ekvationen sin a = 1 uppfylld. Eftersom a = 2x gäller samtidigt att 2x = π/2 + 2π (vi skrev bara 2x i stället för a).

Vi är dock inte intresserade av 2x, utan av värdet på x, så vi delar hela ekvationen med två. Då får vi ekvationen x = π/4 + π. Därmed har vi fått en konkret lösning till ekvationen sin 2x = 1.

Om vi vill få alla lösningar måste vi göra den här omräkningen för alla element i mängden R. Vi ställer därför upp ekvationen så här:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

och löser ut x, vilket betyder att vi delar hela ekvationen med två:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Det är den slutliga lösningen. Vi skriver den också som en ny mängd R':

$$R^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

Att lösningen stämmer kan vi återigen kontrollera grafiskt. Den röda kurvan är grafen till funktionen sin 2x och den gröna är funktionen y = 1.

Om vi sätter in K = 0 får vi x = π/4, vilket motsvarar punkten C. Om vi sätter in K = 2 får vi x = π/4 + 2π, vilket motsvarar punkten E.

Formler

När du räknar med trigonometriska ekvationer använder du ofta olika formler som du bör kunna. Några är grundläggande, andra är mer komplicerade. Formlerna för trigonometriska funktioner har flyttat till en egen sida, så titta där.

Exempel

1. Lös ekvationen sin(3x − π/2) = 0.

   Vi använder en enkel substitution a = 3x − π/2 och löser ekvationen sin a = 0. Vi vet redan att sinus är lika med noll för a = Kπ. Vi byter alltså tillbaka och löser ekvationen:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Först flyttar vi över π/2 till högerledet, det vill säga vi adderar π/2 till båda leden:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Och nu delar vi ekvationen med tre:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Resultatet är alltså mängden R₁, som definieras så här:

   $$R_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\mid K\in \mathbb{Z}\}$$

   Här är en figur igen:

   

   För K = 1 får vi x = π/3 + π/6 = π/2, alltså punkten E.

2. Lös ekvationen cos²x − sin x = 1.

   Först använder vi trigonometriska ettan och skriver om cos² x som 1 − sin² x. Vi sätter in i ekvationen och får:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Nu bryter vi ut sin x:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Eftersom vänsterledet nu är en produkt och högerledet är noll löser vi ekvationerna sin x = 0 och sin(x) + 1 = 0 var för sig, för hela vänsterledet är noll om minst en faktor är noll.

   Ekvationen sin x = 0 har vi redan löst flera gånger, lösningarna är x på formen Kπ, där K är ett heltal.

   Den andra ekvationen, sin(x) + 1 = 0, skriver vi om till sin(x) = −1. Sinus är lika med minus ett för värdena 3/2π + 2Kπ.

   Alla element i den slutliga mängden R₂ får vi sedan genom att ta unionen.

   $$R_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

   Figur:

   

   Vi ser att punkterna A, C, D och F har en x-koordinat som är en multipel av π, så de punkterna beskrivs av den högra mängden i unionen. Och om vi i den vänstra mängden i unionen sätter in K = 0 får vi x = 3π/2, vilket motsvarar punkten E, och om vi sätter in K = −1 får vi x = 3π/2 − 2π = −π/2, vilket motsvarar punkten B.

3. Lös ekvationen cos² x − sin²x + cos x = 0.

   I första steget använder vi formeln sin²x = 1 − cos²x och skriver om sinus i kvadrat:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   I nästa steg adderar vi ihop termerna:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Och till sist gör vi substitutionen a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Det här löser vi som en vanlig andragradsekvation. Lösningarna är:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Till sist byter vi tillbaka och löser de två ekvationerna cos x = −1 och $\cos x=\frac{1}{2}$ och tar unionen av de resulterande mängderna. Det är enkelt och vi har redan gått igenom det ovan.

4. Lös ekvationen sin²x − cos²x = 1.

   Först använder vi den vanliga formeln och uttrycker cosinus med hjälp av sinus. Vi får:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Vi delar med två och subtraherar ett:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Nu använder vi formeln a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   En produkt av två uttryck är noll när minst ett av uttrycken är noll. När sin x = 1 och sin x = −1 vet vi redan. Lösningen till den trigonometriska ekvationen är:

   $$R_4=\{\pi /2+2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi \mid K\in \mathbb{Z}\}$$

   Figur: