Ecuaciones trigonométricas

Las ecuaciones trigonométricas son ecuaciones que contienen alguna función trigonométrica, es decir, seno, coseno, tangente o cotangente.

Ecuación trigonométrica elemental

Tomemos la ecuación sen x = 0. ¿Para qué valores de x se cumple esta ecuación? ¿Cuándo es cero el seno? Empezaremos mirando la gráfica:

Vemos que sen x vale cero bastante a menudo. En concreto, para los valores −π, 0, π, 2π y muchos más. Como el seno es una función periódica, entre una solución y la siguiente de la ecuación hay intervalos regulares —en este caso, intervalos de longitud π—. Por eso podemos escribir el conjunto de todas las soluciones de esta ecuación como un conjunto, llamémoslo S, que definimos así:

$$S=\{k\cdot \pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Son, pues, todos los múltiplos del número pi (k veces pi), donde k es un número entero. Así hemos descrito el conjunto de todas las soluciones de la ecuación sen x = 0.

Recordemos que el seno y el coseno tienen su recorrido en el intervalo [−1, 1], de modo que la ecuación sen x = 2 no tiene solución, porque no podemos encontrar ningún x para el que la expresión sen x valga más que uno. Por supuesto, la ecuación 3 · sen x = 2 sí tiene solución, porque podemos dividir toda la expresión entre tres y en el segundo miembro ya quedará un número menor que uno. Buscaríamos entonces las soluciones de la ecuación sen x = 2/3.

Cálculo de un ejemplo sencillo

Las ecuaciones trigonométricas sencillas se resuelven leyendo su valor, por ejemplo, en la gráfica o en la circunferencia goniométrica, y determinando el periodo, que sumamos al resultado. Ejemplo: resuelve la ecuación

$$\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$$

La gráfica de la función seno la tenemos arriba, así que miramos cuándo la curva vale $\frac{1}{2}$. Vemos que ocurre en 1/6π y en 5/6π. Te recomiendo encarecidamente que te aprendas los valores de los ángulos notables, porque sin ellos ni siquiera mirar la gráfica te ayudará.

Ahora tendremos que determinar el periodo para saber cómo construir el conjunto de todas las soluciones. La función seno tiene periodo 2π: si miras la gráfica, verás que cada 2π la función empieza a repetirse.

Si una solución de la ecuación es 1/6π, entonces cualquier número 1/6π + 2kπ, donde k es un número entero, tiene que ser también solución, porque en ese punto la función seno tiene el mismo valor. Ese 2k solo indica que queremos únicamente números enteros pares. Si sustituyes k por cualquier número entero y lo multiplicas por dos, obtienes un número par. Exactamente igual para la segunda solución, 5/6π. En los puntos 5/6π, 5/6π + 14π y 5/6π − 82π la función sen x tiene el mismo valor, por lo que todos los 5/6π + 2kπ serán solución de la ecuación.

Escribimos el conjunto solución S, que será la unión de los dos resultados anteriores:

$$S=\{\frac{1}{6}\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Gráficamente podríamos representar la solución como la intersección de las gráficas de la función sen x (gráfica roja) y de la función $y=\frac{1}{2}$ (gráfica verde).

Por ejemplo, si en lugar de k pusiéramos k = 0, obtendríamos la solución:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2k\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2k\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Es decir, x₁ = 1/6π y x₂ = 5/6π. En la figura les corresponden los puntos B y C, porque su coordenada x es precisamente 1/6π y 5/6π, respectivamente. Si sustituyéramos k = 1, obtendríamos los puntos D y E.

Cambio de variable

Si tenemos en la función una expresión más complicada, podemos usar un cambio de variable, es decir, una sustitución. Por ejemplo, si queremos resolver la ecuación sen 2x = 1, hacemos el cambio de variable a = 2x y seguimos con la ecuación de la forma sen a = 1, igual que hemos mostrado en el apartado anterior. El cambio de variable suele consistir en tomar el argumento de la función, en este caso 2x, y escribir en su lugar otra incógnita. Podemos llamarla como queramos; aquí hemos elegido el nombre a. Podríamos hacer sin problema el cambio q = 2x o naranja = 2x y luego escribir sen naranja = 1.

El cambio de variable nos simplifica así la expresión con la que estamos trabajando. Ya nos ocuparemos más tarde de que la expresión a es en realidad igual a 2x.

Ahora resolvemos, pues, la ecuación sen a = 1, donde a es la incógnita. Buscamos cuándo es el seno igual a uno. Resulta que el seno es igual a uno para el valor π/2 + 2kπ. Las soluciones de la ecuación sen a = 1 son, por tanto, los valores del conjunto

$$S=\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}.$$

Por último, tenemos que acordarnos de nuestro cambio de variable: hay que deshacerlo. Sabemos que las soluciones de la ecuación sen a = 1 son los elementos del conjunto S anterior. Pero nosotros queremos conocer las soluciones de otra ecuación, sen 2x = 1. Y sabemos que a = 2x.

Probemos a tomar del conjunto solución S una solución concreta; por ejemplo, para k = 1 obtenemos la solución concreta a = π/2 + 2π. En este punto la ecuación sen a = 1 tiene solución. Como a = 2x, se cumple a la vez que 2x = π/2 + 2π (simplemente hemos escrito 2x en lugar de a).

Pero a nosotros no nos interesa 2x, nos interesa el valor de x, así que dividimos toda la ecuación entre dos. De este modo obtenemos la ecuación x = π/4 + π. Hemos obtenido así una solución concreta de la ecuación sen 2x = 1.

Si queremos obtener todas las soluciones, tenemos que hacer esta operación con todos los elementos del conjunto S. Planteamos entonces la ecuación así:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$$

y despejamos x, lo que significa dividir toda la ecuación entre dos:

$$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$$

Esa es la solución final. Además, la escribimos en forma de conjunto, como un nuevo conjunto S':

$$S^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Podemos comprobar de nuevo la corrección de la solución gráficamente. En rojo está la gráfica de la función sen 2x y en verde la de la función y = 1.

Si en lugar de k ponemos k = 0, obtenemos x = π/4, que representa el punto C. Si sustituimos k = 2, obtenemos x = π/4 + 2π, que representa el punto E.

Fórmulas

Al trabajar con ecuaciones trigonométricas se usan a menudo diversas fórmulas que conviene conocer. Algunas son básicas y otras ya más complicadas. Las fórmulas trigonométricas tienen ahora su propia página, así que échales un vistazo allí.

Ejemplos

1. Resuelve la ecuación sen (3x − π/2) = 0.

   Usamos un cambio de variable sencillo, a = 3x − π/2, y resolvemos la ecuación sen a = 0. Ya sabemos que el seno es igual a cero para a = kπ. Deshacemos, pues, el cambio y resolvemos la ecuación:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=k\pi$$

   Primero pasamos π/2 al segundo miembro, es decir, sumamos π/2 a la ecuación:

   $$3x=k\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Y ahora dividimos la ecuación entre tres:

   $$x=\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   El resultado es, pues, el conjunto S₁, definido así:

   $$S_1=\{\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\mid k\in \mathbb{Z}\}$$

   De nuevo, la figura:

   

   Para k = 1 obtenemos x = π/3 + π/6 = π/2, es decir, el punto E.

2. Resuelve la ecuación cos²x − sen x = 1.

   Primero usamos las fórmulas y descomponemos cos² x en 1 − sen² x. Sustituimos de nuevo en la ecuación y obtenemos:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x& =& 1\\ {\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x& =& 0\end{array}$$

   Ahora sacamos factor común sen x:

   $$\mathrm{sen}x(\mathrm{sen}(x)+1)=0$$

   Como hemos llevado el primer miembro de la ecuación a forma de producto y en el segundo miembro tenemos cero, resolveremos por separado las ecuaciones sen x = 0 y sen(x) + 1 = 0, porque todo el primer miembro será cero si es cero al menos un factor.

   La ecuación sen x = 0 ya la tenemos resuelta varias veces; las soluciones son los x de la forma kπ, donde k es un número entero.

   La segunda ecuación, sen(x) + 1 = 0, la transformamos en la ecuación sen(x) = −1. El seno es igual a menos uno para los valores 3/2π + 2kπ.

   Todos los elementos del conjunto solución S₂ los obtenemos entonces mediante la unión.

   $$S_2=\{\frac{3}{2}\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

   Figura:

   

   Vemos que los puntos A, C, D y F tienen la coordenada x múltiplo de π, así que esos puntos los describe el segundo conjunto de la unión. Y si en el primer conjunto de la unión ponemos en lugar de k el valor k = 0, obtenemos x = 3π/2, que corresponde al punto E; si sustituimos k = −1, obtenemos x = 3π/2 − 2π = −π/2, que corresponde al punto B.

3. Resuelve la ecuación cos² x − sen²x + cos x = 0.

   En el primer paso aplicamos la fórmula sen²x = 1 − cos²x y descomponemos el seno al cuadrado:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   En el paso siguiente lo sumamos todo:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Y por último hacemos el cambio de variable a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Esto ya lo resolvemos como una simple ecuación de segundo grado. Resultados:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Por último deshacemos el cambio de variable y resolvemos el par de ecuaciones cos x = −1 y $\cos x=\frac{1}{2}$, y unimos los conjuntos resultantes. Eso ya es sencillo y ya lo hemos resuelto antes.

4. Resuelve la ecuación sen²x − cos²x = 1.

   Primero aplicamos la fórmula clásica y expresamos el coseno mediante el seno. Obtenemos:

   $$2{\mathrm{sen}}^{2}x=2$$

   Dividimos entre dos y restamos uno:

   $${\mathrm{sen}}^{2}x-1=0$$

   Ahora aplicamos la fórmula a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\mathrm{sen}(x)-1)\cdot (\mathrm{sen}(x)+1)=0$$

   El producto de dos expresiones es cero cuando al menos una de las expresiones es cero. Ya sabemos cuándo sen x = 1 y sen x = −1. La solución de la ecuación trigonométrica es:

   $$S_4=\{\pi /2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

   Figura: