Equações trigonométricas

Equações trigonométricas são equações que contêm alguma função trigonométrica, isto é, seno, cosseno, tangente ou cotangente.

Equação trigonométrica fundamental

Seja a equação sen x = 0. Para quais x essa equação será verdadeira? Quando o seno é igual a zero? Começamos olhando o gráfico:

Descobrimos que sen x é igual a zero com bastante frequência. Concretamente, para os valores −π, 0, π, 2π e muitos outros. Como o seno é uma função periódica, entre as soluções da equação haverá intervalos regulares, neste caso intervalos de comprimento π. Por isso podemos escrever o conjunto de todas as soluções dessa equação como um conjunto, que vamos chamar de S, definido assim:

$$S=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

São, portanto, todos os múltiplos Kπ do número π, em que K é um número inteiro. Com isso descrevemos o conjunto de todas as soluções da equação sen x = 0.

Lembremos que o seno e o cosseno têm conjunto imagem no intervalo [−1, 1], então a equação sen x = 2 não tem nenhuma solução, porque não somos capazes de encontrar um x para o qual a expressão sen x tenha valor maior que um. Naturalmente, a equação 3 · sen x = 2 já tem solução, porque podemos dividir a expressão inteira por três e, no segundo membro, já haverá um número menor que um. Procuraríamos, então, as raízes da equação sen x = 2/3.

Cálculo de um exemplo simples

Resolvemos as equações trigonométricas simples, por exemplo, lendo no gráfico ou na circunferência trigonométrica o valor delas e descobrindo o período, que somamos ao resultado. Exemplo: resolva a equação

$$\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$$

O gráfico da função seno está acima, então olhamos quando a curva tem o valor $\frac{1}{2}$. Descobrimos que é nos casos 1/6π e 5/6π. Recomendo fortemente aprender os valores notáveis das funções trigonométricas; sem eles, nem uma olhada no gráfico vai ajudar você.

Agora precisaremos determinar o período, para saber como construir o conjunto de todas as soluções. A função seno tem período 2π: se você olhar o gráfico, vai descobrir que, a cada 2π, a função começa a se repetir.

Se uma solução da equação é 1/6π, então qualquer número 1/6π + 2Kπ, em que K é um número inteiro, também deve ser solução, porque nesse ponto a função seno tem o mesmo valor. Esse 2K apenas indica que queremos só números inteiros pares. Quando você substitui K por qualquer número inteiro e multiplica por dois, obtém um número par. Exatamente da mesma forma para a segunda raiz, 5/6π. Nos pontos 5/6π, 5/6π + 14π e 5/6π − 82π a função sen x tem o mesmo valor, por isso serão solução da equação todos os 5/6π + 2Kπ.

Escrevemos o conjunto resultante S, que será a união dos dois resultados anteriores:

$$S=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Graficamente, poderíamos representar a solução como a interseção dos gráficos da função sen x (gráfico vermelho) e da função $y=\frac{1}{2}$ (gráfico verde).

Por exemplo, se substituíssemos K = 0, obteríamos a solução:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Ou seja, x₁ = 1/6π e x₂ = 5/6π. Na figura, a isso correspondem os pontos B e C, porque a abscissa deles é exatamente 1/6π e 5/6π, respectivamente. Se substituíssemos K = 1, obteríamos os pontos D e E.

Mudança de variável

Se temos na função uma expressão mais complicada, podemos usar uma mudança de variável, ou seja, uma substituição. Por exemplo, se queremos calcular o resultado da equação sen 2x = 1, substituímos (fazemos a mudança de variável) a = 2x e depois já calculamos com a equação na forma sen a = 1, como mostramos no capítulo anterior. A mudança de variável costuma funcionar assim: pegamos o argumento da função, neste caso 2x, e, no lugar dele, escrevemos alguma outra incógnita. Podemos dar a ela qualquer nome, aqui escolhemos o nome a. Poderíamos muito bem fazer a mudança q = 2x ou laranja = 2x e depois escrever sen laranja = 1.

A mudança de variável nos simplifica, assim, a expressão que estamos calculando. Com o fato de que a expressão a é, na verdade, igual a 2x, lidamos depois.

Agora resolvemos, portanto, a equação sen a = 1, em que a é a incógnita. Procuramos, então, quando o seno é igual a um. Obtemos que o seno é igual a um para o valor π/2 + 2Kπ. As raízes da equação sen a = 1 são, assim, os valores do conjunto

$$S=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

Por fim, ainda precisamos nos lembrar da nossa mudança de variável: precisamos desfazê-la. Sabemos que a solução da equação sen a = 1 são os elementos do conjunto anterior S. Só que nós queremos conhecer a solução de outra equação, sen 2x = 1. Mas sabemos que a = 2x.

Vamos tentar tirar do conjunto solução S um elemento concreto: por exemplo, para K = 1 obtemos a solução concreta a = π/2 + 2π. Nesse ponto a equação sen a = 1 tem solução. Como a = 2x, vale ao mesmo tempo que 2x = π/2 + 2π (apenas escrevemos 2x no lugar de a).

Mas não nos interessa 2x, nos interessa o valor de x, então dividimos a equação inteira por dois. Com isso obtemos a equação x = π/4 + π. Obtivemos, assim, uma solução concreta da equação sen 2x = 1.

Se queremos obter todas as soluções, precisamos fazer essa transformação com todos os elementos do conjunto S. Montamos, então, a equação assim:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

e isolamos x, o que significa dividir a equação inteira por dois:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Essa é a solução final. Ainda a escrevemos em forma de conjunto, como um novo conjunto S':

$$S^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Podemos conferir de novo graficamente se a solução está correta. Em vermelho está o gráfico da função sen 2x e, em verde, a função y = 1.

Se substituirmos K = 0, obtemos x = π/4, que representa o ponto C. Se substituirmos K = 2, obtemos x = π/4 + 2π, que representa o ponto E.

Fórmulas

Ao calcular equações trigonométricas, usam-se com frequência as mais variadas fórmulas, que você deve conhecer. Algumas são básicas, outras já são mais complicadas. As fórmulas trigonométricas se mudaram para uma página própria; vá dar uma olhada lá.

Exemplos

1. Resolva a equação sen (3x − π/2) = 0.

   Usamos a mudança de variável simples a = 3x − π/2 e resolvemos a equação sen a = 0. Já sabemos que o seno é igual a zero para a = Kπ. Substituímos, portanto, de volta a mudança de variável e calculamos a equação:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Primeiro passamos π/2 para o segundo membro, isto é, somamos π/2 à equação:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   E agora dividimos a equação por três:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   O resultado é, portanto, o conjunto S₁, definido assim:

   $$S_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   De novo a figura:

   

   Para K = 1 obtemos x = π/3 + π/6 = π/2, isto é, o ponto E.

2. Resolva a equação cos²x − sen x = 1.

   Primeiro usamos as fórmulas e substituímos cos² x por 1 − sen² x. Substituímos de volta na equação e obtemos:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x& =& 1\\ {\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x& =& 0\end{array}$$

   Agora colocamos em evidência sen x:

   $$\mathrm{sen}x(\mathrm{sen}(x)+1)=0$$

   Como levamos o primeiro membro da equação à forma de produto e no segundo membro temos zero, vamos resolver separadamente as equações sen x = 0 e sen(x) + 1 = 0, porque o primeiro membro inteiro será nulo se pelo menos um fator for nulo.

   Já resolvemos várias vezes a equação sen x = 0; as soluções são os x da forma Kπ, em que K é um número inteiro.

   Transformamos a segunda equação, sen(x) + 1 = 0, na equação sen(x) = −1. O seno é igual a menos um para os valores 3/2π + 2Kπ.

   Obtemos, então, todos os elementos do conjunto resultante S₂ pela união.

   $$S_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Figura:

   

   Vemos que os pontos A, C, D e F têm abscissa múltipla de π, então esses pontos são descritos pelo conjunto da direita na união anterior. E, se no conjunto da esquerda da união substituirmos K pelo valor K = 0, obtemos x = 3π/2, que corresponde ao ponto E; se substituirmos K = −1, obtemos x = 3π/2 − 2π = −π/2, que corresponde ao ponto B.

3. Resolva a equação cos² x − sen²x + cos x = 0.

   No primeiro passo aplicamos a fórmula sen²x = 1 − cos²x e desenvolvemos o seno ao quadrado:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   No passo seguinte somamos tudo:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   E por fim fazemos a mudança de variável a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Resolvemos isso como uma simples equação do 2º grau. Resultados:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Por fim desfazemos a mudança de variável e resolvemos o par de equações cos x = −1 e $\cos x=\frac{1}{2}$ e unimos os conjuntos resultantes. Isso já é simples e já foi feito acima.

4. Resolva a equação sen²x − cos²x = 1.

   Primeiro aplicamos a fórmula clássica e expressamos o cosseno por meio do seno. Obtemos:

   $$2{\mathrm{sen}}^{2}x=2$$

   Dividimos por dois e subtraímos um:

   $${\mathrm{sen}}^{2}x-1=0$$

   Agora aplicamos a fórmula a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\mathrm{sen}(x)-1)\cdot (\mathrm{sen}(x)+1)=0$$

   O produto de duas expressões é zero quando pelo menos uma das expressões é nula. Já sabemos quando sen x = 1 e quando sen x = −1. A solução da equação trigonométrica é:

   $$S_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Figura: