Trigonometriset yhtälöt

Trigonometriset yhtälöt ovat yhtälöitä, joissa on jokin trigonometrinen funktio, eli sini, kosini, tangentti tai kotangentti.

Trigonometrisen yhtälön perustapaus

Tarkastellaan yhtälöä sin x = 0. Millä x:n arvoilla tämä yhtälö pätee? Milloin sini on nolla? Aloitetaan katsomalla kuvaajaa:

Huomataan, että sin x on nolla melko usein. Tarkemmin sanottuna arvoilla −π, 0, π, 2π ja monilla muilla. Koska sini on jaksollinen funktio, yhtälön ratkaisujen välillä on säännölliset välit – tässä tapauksessa välit, joiden pituus on π. Siksi kaikkien tämän yhtälön ratkaisujen joukko eli ratkaisujoukko S voidaan kirjoittaa joukkona, joka määritellään näin:

$$S=\{k\cdot \pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Ne ovat siis kaikki luvun pii k-kertaiset, missä k on kokonaisluku. Näin kuvattiin kaikkien yhtälön sin x = 0 ratkaisujen joukko.

Muistutetaan, että sinin ja kosinin arvojoukko on väli [−1, 1], joten yhtälöllä sin x = 2 ei ole ratkaisua, koska ei löydy sellaista x:ää, jolla lauseke sin x olisi suurempi kuin yksi. Yhtälöllä 3 · sin x = 2 on sen sijaan jo ratkaisu, koska koko lauseke voidaan jakaa kolmella, ja silloin oikealla puolella on luku, joka on pienempi kuin yksi. Etsittäisiin yhtälön sin x = 2/3 ratkaisuja.

Yksinkertaisen esimerkin laskeminen

Yksinkertaiset trigonometriset yhtälöt ratkaistaan lukemalla arvo esimerkiksi kuvaajasta tai yksikköympyrästä ja selvittämällä jakso, joka lisätään tulokseen. Esimerkki: ratkaise yhtälö

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Sinifunktion kuvaaja on ylhäällä, joten katsotaan, milloin käyrän arvo on $\frac{1}{2}$. Huomataan, että näin on kohdissa 1/6π ja 5/6π. Suosittelen painokkaasti opettelemaan ulkoa trigonometristen funktioiden taulukkoarvot, sillä ilman niitä ei kuvaajaan katsominenkaan auta.

Nyt täytyy määrittää jakso, jotta tiedetään, miten kaikkien ratkaisujen joukko muodostetaan. Sinifunktion jakso on 2π – kun katsot kuvaajaa, huomaat, että aina 2π:n jälkeen funktio alkaa toistua.

Jos yksi yhtälön ratkaisu on 1/6π, myös mikä tahansa luku 1/6π + 2kπ, missä k on kokonaisluku, on yhtälön ratkaisu, koska siinä kohdassa sinifunktiolla on sama funktion arvo. Tekijä 2k tarkoittaa vain, että halutaan ainoastaan parilliset kokonaisluvut. Kun k:n paikalle sijoitat minkä tahansa kokonaisluvun ja kerrot sen kahdella, saat parillisen luvun. Aivan samoin toiselle juurelle, 5/6π. Pisteissä 5/6π, 5/6π + 14π ja 5/6π − 82π funktiolla sin x on sama funktion arvo, joten yhtälön ratkaisuja ovat kaikki luvut 5/6π + 2kπ.

Kirjoitetaan tulosjoukko S, joka on molempien aiempien tulosten yhdiste:

$$S=\{\frac{1}{6}\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Graafisesti ratkaisu voitaisiin esittää funktion sin x kuvaajan (punainen) ja funktion $y=\frac{1}{2}$ kuvaajan (vihreä) leikkauspisteinä.

Jos esimerkiksi sijoitettaisiin k = 0, saataisiin ratkaisut:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2k\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2k\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Siis x₁ = 1/6π ja x₂ = 5/6π. Kuvassa niitä vastaavat pisteet B ja C, koska niiden x-koordinaatti on juuri 1/6π ja 5/6π. Jos sijoitettaisiin k = 1, saataisiin pisteet D ja E.

Sijoitus

Jos funktion sisällä on monimutkaisempi lauseke, voidaan käyttää sijoitusta eli korvaamista. Jos esimerkiksi halutaan ratkaista yhtälö sin 2x = 1, korvataan (tehdään sijoitus) a = 2x ja lasketaan edelleen yhtälöllä sin a = 1 samalla tavalla kuin edellisessä luvussa. Sijoitus tehdään yleensä niin, että otetaan funktion argumentti, tässä tapauksessa 2x, ja kirjoitetaan sen paikalle jokin toinen tuntematon. Sen voi nimetä aivan miten vain, tässä valittiin nimeksi a. Voitaisiin aivan hyvin tehdä sijoitus q = 2x tai appelsiini = 2x ja kirjoittaa sitten sin appelsiini = 1.

Sijoitus yksinkertaistaa lauseketta, jota ollaan laskemassa. Siihen, että lauseke a on todellisuudessa yhtä suuri kuin 2x, palataan myöhemmin.

Nyt ratkaistaan yhtälö sin a = 1, jossa a on tuntematon. Etsitään, milloin sini on yhtä kuin yksi. Saadaan, että sini on yksi arvolla π/2 + 2kπ. Yhtälön sin a = 1 ratkaisut ovat siis seuraavan joukon alkioita:

$$S=\{\frac{\pi }{2}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}.$$

Lopuksi pitää vielä muistaa tehty sijoitus – se täytyy palauttaa takaisin. Tiedetään, että yhtälön sin a = 1 ratkaisut ovat edellisen joukon S alkioita. Halutaan kuitenkin tietää toisen yhtälön, sin 2x = 1, ratkaisut. Tiedetään myös, että a = 2x.

Otetaan ratkaisujoukosta S kokeeksi yksi tietty ratkaisu: kun k = 1, saadaan tietty ratkaisu a = π/2 + 2π. Tässä kohdassa yhtälöllä sin a = 1 on ratkaisu. Koska a = 2x, pätee samalla 2x = π/2 + 2π (kirjoitettiin vain a:n tilalle 2x).

Kiinnostava ei kuitenkaan ole 2x vaan x:n arvo, joten jaetaan koko yhtälö kahdella. Näin saadaan yhtälö x = π/4 + π. Saatiin yksi tietty yhtälön sin 2x = 1 ratkaisu.

Jos halutaan kaikki ratkaisut, tämä muunnos täytyy tehdä joukon S kaikille alkioille. Muodostetaan siis yhtälö näin:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$$

ja eristetään x, eli jaetaan koko yhtälö kahdella:

$$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$$

Tämä on lopullinen ratkaisu. Kirjoitetaan se vielä joukkona, uutena joukkona S':

$$S^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

Ratkaisun oikeellisuus voidaan taas tarkistaa graafisesti. Punaisella on funktion sin 2x kuvaaja ja vihreällä funktion y = 1.

Jos sijoitetaan k = 0, saadaan x = π/4, mikä vastaa pistettä C. Jos sijoitetaan k = 2, saadaan x = π/4 + 2π, mikä vastaa pistettä E.

Kaavat

Trigonometrisia yhtälöitä ratkaistaessa tarvitaan usein erilaisia kaavoja, jotka kannattaa osata. Osa niistä on perustavia, osa monimutkaisempia. Trigonometriset kaavat on siirretty omalle sivulleen, joten katso sinne.

Esimerkit

1. Ratkaise yhtälö sin(3x − π/2) = 0.

   Käytetään yksinkertaista sijoitusta a = 3x − π/2 ja ratkaistaan yhtälö sin a = 0. Tiedetään jo, että sini on nolla, kun a = kπ. Sijoitetaan siis takaisin ja ratkaistaan yhtälö:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=k\pi$$

   Ensin siirretään π/2 oikealle puolelle, eli lisätään yhtälöön π/2:

   $$3x=k\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Ja nyt yhtälö jaetaan kolmella:

   $$x=\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Tulos on siis joukko S₁, joka määritellään näin:

   $$S_1=\{\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\mid k\in \mathbb{Z}\}$$

   Taas kuva:

   

   Kun k = 1, saadaan x = π/3 + π/6 = π/2, eli piste E.

2. Ratkaise yhtälö cos²x − sin x = 1.

   Ensin käytetään kaavaa ja korvataan cos² x lausekkeella 1 − sin² x. Sijoitetaan se takaisin yhtälöön, jolloin saadaan:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Nyt otetaan yhteinen tekijä sin x sulkujen ulkopuolelle:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Koska yhtälön vasen puoli saatiin tulomuotoon ja oikealla puolella on nolla, ratkaistaan erikseen yhtälöt sin x = 0 ja sin(x) + 1 = 0, sillä koko vasen puoli on nolla, jos ainakin yksi tekijä on nolla.

   Yhtälö sin x = 0 on jo ratkaistu useita kertoja: ratkaisut ovat muotoa kπ, missä k on kokonaisluku.

   Toinen yhtälö, sin(x) + 1 = 0, muutetaan muotoon sin(x) = −1. Sini on miinus yksi arvoilla 3/2π + 2kπ.

   Tuloksena olevan joukon S₂ kaikki alkiot saadaan yhdisteenä.

   $$S_2=\{\frac{3}{2}\pi +2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

   Kuva:

   

   Nähdään, että pisteiden A, C, D ja F x-koordinaatti on luvun π monikerta, joten nämä pisteet kuvaa edellisen yhdisteen oikeanpuoleinen joukko. Ja jos yhdisteen vasemmassa joukossa sijoitetaan k = 0, saadaan x = 3π/2, mikä vastaa pistettä E. Jos sijoitetaan k = −1, saadaan x = 3π/2 − 2π = −π/2, mikä vastaa pistettä B.

3. Ratkaise yhtälö cos² x − sin²x + cos x = 0.

   Ensimmäisessä vaiheessa käytetään kaavaa sin²x = 1 − cos²x ja korvataan sinin neliö:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   Seuraavassa vaiheessa termit lasketaan yhteen:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Ja lopuksi tehdään sijoitus a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Tämä ratkaistaan tavallisena toisen asteen yhtälönä. Tulokset:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Lopuksi sijoitus palautetaan takaisin ja ratkaistaan kaksi yhtälöä cos x = −1 ja $\cos x=\frac{1}{2}$, ja tuloksena olevat joukot yhdistetään. Tämä on jo helppoa, ja se on ratkaistu jo edellä.

4. Ratkaise yhtälö sin²x − cos²x = 1.

   Ensin käytetään tuttua kaavaa ja ilmaistaan kosini sinin avulla. Saadaan:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Jaetaan kahdella ja vähennetään yksi:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Nyt käytetään kaavaa a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Kahden lausekkeen tulo on nolla silloin, kun ainakin toinen lausekkeista on nolla. Tiedetään jo, milloin sin x = 1 ja sin x = −1. Trigonometrisen yhtälön ratkaisu on:

   $$S_4=\{\pi /2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$$

   Kuva: