Equazioni goniometriche

Le equazioni goniometriche sono equazioni che contengono una funzione goniometrica, cioè seno, coseno, tangente o cotangente.

Equazione goniometrica elementare

Consideriamo l’equazione sen x = 0. Per quali x vale questa equazione? Quando il seno è uguale a zero? Cominciamo guardando il grafico:

Vediamo che sen x è uguale a zero piuttosto spesso. Precisamente per i valori −π, 0, π, 2π e molti altri. Poiché il seno è una funzione periodica, tra una soluzione e l’altra ci sono intervalli regolari – in questo caso intervalli di lunghezza π. Per questo l’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione si può scrivere come un insieme, che chiamiamo S, definito così:

$$S=\{k\cdot \pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

Sono dunque tutti i multipli kπ del numero pi greco, dove k è un numero intero. Abbiamo così descritto l’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione sen x = 0.

Ricordiamo che seno e coseno hanno come insieme immagine l’intervallo [−1; 1], quindi l’equazione sen x = 2 non ha nessuna soluzione, perché non esiste alcun x per cui l’espressione sen x valga più di uno. Naturalmente l’equazione 3 · sen x = 2 una soluzione ce l’ha, perché possiamo dividere l’intera espressione per tre e a destra avremo un numero minore di uno. Cercheremmo allora le soluzioni dell’equazione sen x = 2/3.

Svolgimento di un esempio semplice

Le equazioni goniometriche semplici si risolvono leggendo il valore, ad esempio dal grafico o dalla circonferenza goniometrica, e determinando il periodo da aggiungere al risultato. Un esempio: risolvi l’equazione

$$\mathrm{sen}x=\frac{1}{2}$$

Il grafico della funzione seno è qui sopra, quindi guardiamo quando la curva ha valore $\frac{1}{2}$. Scopriamo che succede per 1/6π e 5/6π. Ti consiglio vivamente di imparare i valori notevoli delle funzioni goniometriche: senza di essi nemmeno un’occhiata al grafico ti aiuta.

Ora dobbiamo determinare il periodo, per sapere come costruire l’insieme di tutte le soluzioni. La funzione seno ha periodo 2π – se guardi il grafico, vedi che ogni 2π la funzione ricomincia a ripetersi.

Se una soluzione dell’equazione è 1/6π, allora anche qualsiasi numero 1/6π + 2kπ, con k intero, deve essere una soluzione, perché in quel punto la funzione seno ha lo stesso valore. Quel 2k indica semplicemente che vogliamo solo numeri interi pari. Se al posto di k metti un qualsiasi numero intero e lo moltiplichi per due, ottieni un numero pari. Lo stesso vale per la seconda radice, 5/6π. Nei punti 5/6π, 5/6π + 14π e 5/6π − 82π la funzione sen x ha lo stesso valore, quindi saranno soluzioni dell’equazione tutti i numeri 5/6π + 2kπ.

Scriviamo l’insieme finale S, che sarà l’unione dei due risultati precedenti:

$$S=\{\frac{1}{6}\pi +2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

Graficamente possiamo rappresentare la soluzione come intersezione dei grafici della funzione sen x (grafico rosso) e della funzione $y=\frac{1}{2}$ (grafico verde).

Ad esempio, se al posto di k mettessimo k = 0, otterremmo le soluzioni:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2k\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2k\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Quindi x₁ = 1/6π e x₂ = 5/6π. Nella figura corrispondono ai punti B e C, perché la loro ascissa è proprio 1/6π e 5/6π. Se mettessimo k = 1, otterremmo i punti D ed E.

Sostituzione

Se nella funzione c’è un’espressione più complicata, possiamo usare una sostituzione, cioè un cambio di variabile. Ad esempio, se vogliamo risolvere l’equazione sen 2x = 1, poniamo (facciamo la sostituzione) a = 2x e continuiamo con l’equazione nella forma sen a = 1, proprio come abbiamo mostrato nel capitolo precedente. La sostituzione di solito si fa prendendo l’argomento della funzione, in questo caso 2x, e scrivendo al suo posto un’altra incognita. Possiamo chiamarla come vogliamo: qui abbiamo scelto il nome a. Potremmo tranquillamente porre q = 2x o arancia = 2x e poi scrivere sen arancia = 1.

La sostituzione ci semplifica l’espressione che stiamo risolvendo. Al fatto che l’espressione a è in realtà uguale a 2x penseremo più tardi.

Ora risolviamo dunque l’equazione sen a = 1, in cui a è l’incognita. Cerchiamo quando il seno è uguale a uno. Troviamo che il seno è uguale a uno per il valore π/2 + 2kπ. Le radici dell’equazione sen a = 1 sono quindi i valori dell’insieme

$$S=\{\frac{\pi }{2}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}.$$

Alla fine dobbiamo ricordarci della nostra sostituzione e tornare alla variabile originaria. Sappiamo che le soluzioni dell’equazione sen a = 1 sono gli elementi dell’insieme S appena scritto. Ma a noi interessano le soluzioni di un’altra equazione, sen 2x = 1. Sappiamo però che a = 2x.

Proviamo a prendere dall’insieme delle soluzioni S una soluzione concreta: per k = 1 otteniamo la soluzione a = π/2 + 2π. In questo punto l’equazione sen a = 1 è soddisfatta. Poiché a = 2x, vale allo stesso tempo 2x = π/2 + 2π (abbiamo solo scritto 2x al posto di a).

A noi però non interessa 2x, interessa il valore di x, quindi dividiamo tutta l’equazione per due. Otteniamo l’equazione x = π/4 + π. Abbiamo così trovato una soluzione concreta dell’equazione sen 2x = 1.

Se vogliamo ottenere tutte le soluzioni, dobbiamo fare questo passaggio con tutti gli elementi dell’insieme S. Scriviamo quindi l’equazione così:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$$

e isoliamo x, cioè dividiamo tutta l’equazione per due:

$$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$$

Questa è la soluzione finale. La scriviamo ancora sotto forma di insieme, come nuovo insieme S':

$$S^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

Anche stavolta possiamo verificare la correttezza della soluzione graficamente. In rosso c’è il grafico della funzione sen 2x, in verde quello della funzione y = 1.

Se al posto di k mettiamo k = 0, otteniamo x = π/4, che corrisponde al punto C. Se mettiamo k = 2, otteniamo x = π/4 + 2π, che corrisponde al punto E.

Formule

Quando si risolvono equazioni goniometriche si usano spesso formule di vario tipo, che è bene conoscere. Alcune sono fondamentali, altre più complicate. Le formule goniometriche hanno ora una pagina tutta loro, quindi dai un’occhiata lì.

Esempi

1. Risolvi l’equazione sen (3x − π/2) = 0.

   Usiamo la semplice sostituzione a = 3x − π/2 e risolviamo l’equazione sen a = 0. Sappiamo già che il seno è uguale a zero per a = kπ. Torniamo alla variabile x e risolviamo l’equazione:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=k\pi$$

   Prima portiamo π/2 a destra, cioè aggiungiamo π/2 a entrambi i membri:

   $$3x=k\pi +\frac{\pi }{2}$$

   E ora dividiamo l’equazione per tre:

   $$x=\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Il risultato è quindi l’insieme S₁, definito così:

   $$S_1=\{\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|k\in \mathbb{Z}\}$$

   Di nuovo una figura:

   

   Per k = 1 otteniamo x = π/3 + π/6 = π/2, cioè il punto E.

2. Risolvi l’equazione cos²x − sen x = 1.

   Come prima cosa usiamo le formule e scriviamo cos² x come 1 − sen² x. Sostituiamo nell’equazione e otteniamo:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\mathrm{sen}}^{2}x-\mathrm{sen}x& =& 1\\ {\mathrm{sen}}^{2}x+\mathrm{sen}x& =& 0\end{array}$$

   Ora raccogliamo sen x:

   $$\mathrm{sen}x(\mathrm{sen}(x)+1)=0$$

   Poiché abbiamo portato il primo membro nella forma di un prodotto e al secondo membro abbiamo zero, risolveremo separatamente le equazioni sen x = 0 e sen(x) + 1 = 0, perché tutto il primo membro sarà nullo se è nullo almeno un fattore.

   L’equazione sen x = 0 l’abbiamo già risolta più volte: le soluzioni sono gli x della forma kπ, dove k è un numero intero.

   La seconda equazione, sen(x) + 1 = 0, la trasformiamo nell’equazione sen(x) = −1. Il seno è uguale a meno uno per i valori 3/2π + 2kπ.

   Tutti gli elementi dell’insieme finale S₂ si ottengono poi con l’unione.

   $$S_2=\{\frac{3}{2}\pi +2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}\cup \{k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

   Figura:

   

   Vediamo che i punti A, C, D ed F hanno l’ascissa multipla di π, quindi questi punti sono descritti dall’insieme di destra nell’unione precedente. E se nell’insieme di sinistra dell’unione mettiamo k = 0, otteniamo x = 3π/2, che corrisponde al punto E; se mettiamo k = −1, otteniamo x = 3π/2 − 2π = −π/2, che corrisponde al punto B.

3. Risolvi l’equazione cos² x − sen²x + cos x = 0.

   Nel primo passaggio applichiamo la formula sen²x = 1 − cos²x e sostituiamo il seno al quadrato:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   Nel passaggio successivo sommiamo i termini simili:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   E infine facciamo la sostituzione a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Questa la risolviamo come una semplice equazione di secondo grado. Risultati:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Alla fine torniamo alla variabile x e risolviamo la coppia di equazioni cos x = −1 e $\cos x=\frac{1}{2}$, poi uniamo gli insiemi ottenuti. È facile e lo abbiamo già fatto sopra.

4. Risolvi l’equazione sen²x − cos²x = 1.

   Come prima cosa applichiamo la formula classica ed esprimiamo il coseno tramite il seno. Otteniamo:

   $$2{\mathrm{sen}}^{2}x=2$$

   Dividiamo per due e sottraiamo uno:

   $${\mathrm{sen}}^{2}x-1=0$$

   Ora applichiamo la formula a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\mathrm{sen}(x)-1)\cdot (\mathrm{sen}(x)+1)=0$$

   Un prodotto di due espressioni è nullo quando almeno una delle espressioni è nulla. Sappiamo già quando sen x = 1 e sen x = −1. La soluzione dell’equazione goniometrica è:

   $$S_4=\{\pi /2+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

   Figura: