Тригонометрични уравнения

Тригонометрични уравнения са уравнения, които съдържат някаква тригонометрична функция, т.е. синус, косинус, тангенс или котангенс.

Основно тригонометрично уравнение

Нека имаме уравнението sin x = 0. За кои x това уравнение е изпълнено? Кога синусът е равен на нула? Да започнем, като погледнем графиката:

Установяваме, че sin x е равен на нула доста често. По-конкретно за стойностите −π, 0, π, 2π и много други. Тъй като синусът е периодична функция, между отделните решения на уравнението ще има равни интервали – в този случай интервали с дължина π. Затова множеството на всички решения на това уравнение можем да запишем като множество, да го означим R, което определяме така:

$$R=\{K\cdot \pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Това са всички K-кратни на числото пи, където K е цяло число. С това описахме множеството на всички решения на уравнението sin x = 0.

Нека напомним, че синусът и косинусът имат за множество от стойности интервала [−1; 1], т.е. уравнението sin x = 2 няма решение, защото не можем да намерим такова x, за което изразът sin x да има стойност, по-голяма от едно. Разбира се, уравнението 3 · sin x = 2 вече има решение, защото можем да разделим целия израз на три и отдясно вече ще има число, по-малко от едно. Бихме търсили корените на уравнението sin x = 2/3.

Решаване на просто уравнение

Простите тригонометрични уравнения решаваме, като например от графиката или от единичната окръжност отчитаме стойността им и установяваме периода, който прибавяме към резултата. Пример: реши уравнението

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Графиката на функцията синус е по-горе, така че поглеждаме кога кривата има стойност $\frac{1}{2}$. Установяваме, че това е при 1/6π и 5/6π. Настоятелно препоръчвам да научиш основните таблични стойности на тригонометричните функции, без тях дори поглед към графиката няма да ти помогне.

Сега ще трябва да определим периода, за да знаем как да построим множеството на всички решения. Функцията синус има период 2π – когато погледнеш графиката, ще установиш, че винаги след 2π функцията започва да се повтаря.

Ако едно решение на уравнението е 1/6π, то и което и да е число 1/6π + 2Kπ, където K е цяло число, трябва да е решение на уравнението, защото на това място функцията синус има същата стойност. Това 2K просто означава, че искаме само четни цели числа. Когато вместо K заместиш кое да е цяло число и го умножиш по две, получаваш четно число. Съвсем същото важи за втория корен, 5/6π. В точките 5/6π, 5/6π + 14π и 5/6π − 82π функцията sin x има една и съща стойност, затова решение на уравнението ще са всички 5/6π + 2Kπ.

Записваме крайното множество R, то ще е обединение на двата предишни резултата:

$$R=\{\frac{1}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Графично решението бихме могли да изобразим като пресечните точки на графиките на функцията sin x (червена графика) и функцията $y=\frac{1}{2}$ (зелена графика).

Напр. ако вместо K заместим K = 0, ще получим решенията:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2K\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2K\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Т.е. x₁ = 1/6π и x₂ = 5/6π. На чертежа им съответстват точките B и C, защото техните x-координати са точно 1/6π, съответно 5/6π. Ако заместим K = 1, ще получим точките D и E.

Полагане

Ако във функцията имаме някакъв по-сложен израз, можем да използваме полагане, т.е. заместване. Например ако искаме да решим уравнението sin 2x = 1, полагаме a = 2x и по-нататък работим с уравнението във вида sin a = 1 така, както показахме в предишния раздел. При полагането обикновено вземаме аргумента на функцията, в този случай 2x, и на негово място пишем някакво друго неизвестно. Можем да го наречем съвсем както си поискаме, тук избрахме името a. Бихме могли спокойно да направим полагането q = 2x или портокал = 2x и после да пишем sinпортокал = 1.

Така полагането опростява израза, с който работим. С това, че изразът a всъщност е равен на 2x, ще се справим по-късно.

Сега решаваме уравнението sin a = 1, като a е неизвестното. Търсим значи кога синусът е равен на единица. Излиза, че синусът е равен на единица при стойността π/2 + 2Kπ. Следователно корените на уравнението sin a = 1 са стойностите от множеството

$$R=\{\frac{\pi }{2}+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}.$$

Накрая трябва да си спомним и за нашето полагане – трябва да го върнем обратно. Знаем, че решение на уравнението sin a = 1 са елементите от предишното множество R. Но ние искаме да знаем решението на друго уравнение, sin 2x = 1. При това обаче знаем, че a = 2x.

Да опитаме да вземем от множеството на решенията R едно конкретно, например за K = 1 получаваме конкретното решение a = π/2 + 2π. В тази точка уравнението sin a = 1 има решение. Тъй като a = 2x, същевременно 2x = π/2 + 2π (само вместо a написахме 2x).

Нас обаче не ни интересува 2x, нас ни интересува стойността на x, така че делим цялото уравнение на две. Така получаваме уравнението x = π/4 + π. Получихме едно конкретно решение на уравнението sin 2x = 1.

Ако искаме да получим всички решения, трябва да направим това преобразуване с всички елементи на множеството R. Затова съставяме уравнението:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2K\pi$$

и изразяваме x, което означава, че делим цялото уравнение на две:

$$x=\frac{\pi }{4}+K\pi$$

Това е крайното решение. Записваме го и като ново множество R':

$$R^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

Правилността на решението отново можем да проверим графично. В червено е графиката на функцията sin 2x, а в зелено функцията y = 1.

Ако вместо K заместим K = 0, получаваме x = π/4, което представлява точката C. Ако заместим K = 2, получаваме x = π/4 + 2π, което представлява точката E.

Формули

При решаването на тригонометрични уравнения често се използват най-различни формули, които трябва да знаеш. Някои са основни, други са вече по-сложни. Тригонометричните формули се преместиха на собствена страница, така че погледни там.

Примери

1. Реши уравнението sin(3x − π/2) = 0.

   Използваме просто полагане a = 3x − π/2 и решаваме уравнението sin a = 0. Вече знаем, че синусът е равен на нула за a = Kπ. Връщаме полагането и решаваме уравнението:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=K\pi$$

   Първо прехвърляме π/2 в дясната страна, т.е. прибавяме π/2 към двете страни:

   $$3x=K\pi +\frac{\pi }{2}$$

   И сега делим уравнението на три:

   $$x=\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Следователно резултатът е множеството R₁, определено по следния начин:

   $$R_1=\{\frac{K\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|K\in \mathbb{Z}\}$$

   Отново чертеж:

   

   За K = 1 получаваме x = π/3 + π/6 = π/2, т.е. точката E.

2. Реши уравнението cos²x − sin x = 1.

   Първо използваме формула и заместваме cos² x с 1 − sin² x. Заместваме в уравнението и получаваме:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Сега изнасяме sin x пред скоби:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Тъй като получихме лявата страна на уравнението във вид на произведение, а отдясно имаме нула, ще решаваме отделно уравненията sin x = 0 и sin(x) + 1 = 0, защото цялата лява страна ще е нула, ако поне един множител е нула.

   Уравнението sin x = 0 вече решихме няколко пъти, решения са x от вида Kπ, където K е цяло число.

   Второто уравнение, sin(x) + 1 = 0, свеждаме до уравнението sin(x) = −1. Синусът е равен на минус едно за стойностите 3/2π + 2Kπ.

   Всички елементи на крайното множество R₂ получаваме с обединение.

   $$R_2=\{\frac{3}{2}\pi +2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Чертеж:

   

   Виждаме, че точките A, C, D и F имат x-координата, кратна на π, така че тези точки описва дясното множество в предишното обединение. А ако в лявото множество от обединението вместо K заместим стойността K = 0, получаваме x = 3π/2, което съответства на точката E, ако заместим K = −1, получаваме x = 3π/2 − 2π = −π/2, което съответства на точката B.

3. Реши уравнението cos² x − sin²x + cos x = 0.

   В първата стъпка прилагаме формулата sin²x = 1 − cos²x и заместваме квадрата на синуса:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   В следващата стъпка събираме подобните членове:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   И накрая правим полагането a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Това вече решаваме като обикновено квадратно уравнение. Резултати:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   Накрая връщаме обратно полагането и решаваме двойката уравнения cos x = −1 и $\cos x=\frac{1}{2}$ и обединяваме получените множества. Това вече е лесно и го правихме по-горе.

4. Реши уравнението sin²x − cos²x = 1.

   Първо прилагаме класическата формула и изразяваме косинуса чрез синуса. Получаваме:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Делим на две и изваждаме единицата:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Сега прилагаме формулата a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Произведението на два израза е нула, когато поне един от изразите е нула. Кога sin x = 1 и sin x = −1, вече знаем. Решение на тригонометричното уравнение е:

   $$R_4=\{\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2K\pi |K\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+K\pi |K\in \mathbb{Z}\}$$

   Чертеж: