Ecuația trigonometrică

Ecuațiile trigonometrice sunt ecuații care conțin o funcție trigonometrică, adică sinus, cosinus, tangentă sau cotangentă.

Ecuația trigonometrică de bază

Să luăm ecuația sin x = 0. Pentru care x este valabilă această ecuație? Când este sinusul egal cu zero? Începem prin a ne uita la grafic:

Aflăm că sin x este egal cu zero destul de des. Concret, pentru valorile −π, 0, π, 2π și multe altele. Deoarece sinusul este o funcție periodică, între soluțiile succesive ale ecuației vor fi intervale regulate – în acest caz intervale de lungime π. De aceea mulțimea tuturor soluțiilor acestei ecuații o putem scrie ca o mulțime, să o notăm S, pe care o definim astfel:

$$S=\{k\cdot \pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

Sunt deci toți multiplii kπ ai numărului π, unde k este număr întreg. Am descris astfel mulțimea tuturor soluțiilor ecuației sin x = 0.

Să ne amintim că sinusul și cosinusul au imaginea în intervalul [−1, 1], deci ecuația sin x = 2 nu are nicio soluție, pentru că nu putem găsi un x pentru care expresia sin x să aibă o valoare mai mare decât unu. Bineînțeles, ecuația 3 · sin x = 2 are însă soluții, pentru că putem împărți întreaga expresie la trei și în membrul drept va fi un număr mai mic decât unu. Am căuta soluțiile ecuației sin x = 2/3.

Calculul unui exemplu simplu

Ecuațiile trigonometrice simple le rezolvăm astfel: citim soluțiile, de exemplu, din grafic sau de pe cercul trigonometric și aflăm perioada, pe care o adunăm la rezultat. De exemplu, rezolvă ecuația

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

Graficul funcției sinus îl avem mai sus, deci ne uităm când are curba valoarea $\frac{1}{2}$. Aflăm că se întâmplă pentru 1/6π și 5/6π. Îți recomand insistent să înveți valorile de bază din tabel ale funcțiilor trigonometrice, fără ele nu te ajută nici măcar o privire aruncată pe grafic.

Acum va trebui să determinăm perioada, ca să știm cum să construim mulțimea tuturor soluțiilor. Funcția sinus are perioada 2π – dacă te uiți la grafic, vei observa că din 2π în 2π funcția începe să se repete.

Dacă o soluție a ecuației este 1/6π, atunci și orice număr 1/6π + 2kπ, unde k este număr întreg, trebuie să fie soluție a ecuației, pentru că în acest punct funcția sinus are aceeași valoare. Acel 2k înseamnă doar că vrem numai numere întregi pare. Dacă în loc de k pui orice număr întreg și îl înmulțești cu doi, obții un număr par. Exact la fel pentru a doua soluție, 5/6π. În punctele 5/6π, 5/6π + 14π și 5/6π − 82π funcția sin x are aceeași valoare, de aceea vor fi soluții ale ecuației toate numerele 5/6π + 2kπ.

Scriem mulțimea finală S, care va fi reuniunea celor două rezultate precedente:

$$S=\{\frac{1}{6}\pi +2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}\cup \{\frac{5}{6}\pi +2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

Grafic am putea reprezenta soluția ca intersecție a graficelor funcției sin x (graficul roșu) și a funcției $y=\frac{1}{2}$ (graficul verde).

De exemplu, dacă în loc de k am pune k = 0, am obține soluțiile:

$$\begin{array}{rcl}{x}_1& =& \frac{1}{6}\pi +2k\pi =\frac{1}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{1}{6}\pi \\ x_2& =& \frac{5}{6}\pi +2k\pi =\frac{5}{6}\pi +2\cdot 0\cdot \pi =\frac{5}{6}\pi \end{array}$$

Adică x₁ = 1/6π și x₂ = 5/6π. În figură, acestora le corespund punctele B și C, pentru că abscisa lor este chiar 1/6π, respectiv 5/6π. Dacă am pune k = 1, am obține punctele D și E.

Substituția

Dacă avem în funcție o expresie mai complicată, putem folosi substituția, adică înlocuirea. De exemplu, dacă vrem să rezolvăm ecuația sin 2x = 1, înlocuim (facem substituția) a = 2x și în continuare lucrăm cu ecuația de forma sin a = 1, la fel cum am arătat în capitolul precedent. Substituția decurge de obicei astfel: luăm argumentele funcției, în acest caz 2x, și în locul lor scriem o altă necunoscută. O putem numi oricum, aici am ales numele a. Am fi putut foarte bine să facem substituția q = 2x sau portocală = 2x și apoi să scriem sinportocală = 1.

Substituția simplifică deci expresia pe care o calculăm. Cu faptul că expresia a este în realitate egală cu 2x ne ocupăm mai târziu.

Rezolvăm acum ecuația sin a = 1, unde a este necunoscuta. Căutăm deci când este sinusul egal cu unu. Ne iese că sinusul este egal cu unu pentru valoarea π/2 + 2kπ. Soluțiile ecuației sin a = 1 sunt deci valorile din mulțimea

$$S=\{\frac{\pi }{2}+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}.$$

La sfârșit trebuie să ne amintim de substituția noastră – trebuie să revenim la necunoscuta inițială. Știm că soluțiile ecuației sin a = 1 sunt elementele mulțimii precedente S. Dar noi vrem să cunoaștem soluția altei ecuații, sin 2x = 1. Totodată, știm că a = 2x.

Încercăm să luăm din mulțimea soluțiilor S una concretă, de exemplu pentru k = 1 obținem soluția concretă a = π/2 + 2π. În acest punct ecuația sin a = 1 are soluție. Deoarece a = 2x, este valabil totodată că 2x = π/2 + 2π (am scris doar 2x în loc de a).

Pe noi însă nu ne interesează 2x, ne interesează valoarea lui x, deci împărțim întreaga ecuație la doi. Obținem astfel ecuația x = π/4 + π. Am obținut astfel o soluție concretă a ecuației sin 2x = 1.

Dacă vrem să obținem toate soluțiile, trebuie să facem această transformare cu toate elementele mulțimii S. Construim deci ecuația astfel:

$$2x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$$

și izolăm pe x, ceea ce înseamnă că împărțim întreaga ecuație la doi:

$$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$$

Aceasta este soluția finală. O scriem și sub formă de mulțime, ca o nouă mulțime S':

$$S^{\prime }=\{\frac{\pi }{4}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

Corectitudinea rezolvării o putem verifica din nou grafic. Cu roșu este graficul funcției sin 2x, iar cu verde al funcției y = 1.

Dacă în loc de k punem k = 0, obținem x = π/4, care reprezintă punctul C. Dacă punem k = 2, obținem x = π/4 + 2π, care reprezintă punctul E.

Formule

La rezolvarea ecuațiilor trigonometrice se folosesc adesea diverse formule pe care ar trebui să le cunoști. Unele sunt de bază, altele sunt deja mai complicate. Formulele trigonometrice s-au mutat pe pagina lor, așa că uită-te acolo.

Exemple

1. Rezolvă ecuația sin(3x − π/2) = 0.

   Folosim o substituție simplă a = 3x − π/2 și rezolvăm ecuația sin a = 0. Știm deja că sinusul este egal cu zero pentru a = kπ. Revenim deci la necunoscuta x și rezolvăm ecuația:

   $$3x-\frac{\pi }{2}=k\pi$$

   Mai întâi mutăm π/2 în membrul drept, adică adunăm la ecuație π/2:

   $$3x=k\pi +\frac{\pi }{2}$$

   Și acum împărțim ecuația la trei:

   $$x=\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}$$

   Rezultatul este deci mulțimea S₁, definită astfel:

   $$S_1=\{\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}|k\in \mathbb{Z}\}$$

   Din nou o figură:

   

   Pentru k = 1 obținem x = π/3 + π/6 = π/2, adică punctul E.

2. Rezolvă ecuația cos²x − sin x = 1.

   Mai întâi folosim formula și scriem cos² x ca 1 − sin² x. Înlocuim înapoi în ecuație și obținem:

   $$\begin{array}{rcl}1-{\sin }^{2}x-\sin x& =& 1\\ {\sin }^{2}x+\sin x& =& 0\end{array}$$

   Acum scoatem factorul comun sin x:

   $$\sin x(\sin (x)+1)=0$$

   Deoarece am adus membrul stâng al ecuației la forma unui produs și în membrul drept avem zero, vom rezolva separat ecuațiile sin x = 0 și sin(x) + 1 = 0, pentru că întreg membrul stâng va fi nul dacă cel puțin un factor este nul.

   Ecuația sin x = 0 am rezolvat-o deja de mai multe ori, soluțiile sunt x de forma kπ, unde k este număr întreg.

   A doua ecuație, sin(x) + 1 = 0, o transformăm în ecuația sin(x) = −1. Sinusul este egal cu minus unu pentru valorile 3/2π + 2kπ.

   Toate elementele mulțimii finale S₂ le obținem apoi prin reuniune.

   $$S_2=\{\frac{3}{2}\pi +2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}\cup \{k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

   Figura:

   

   Vedem că punctele A, C, D și F au abscisa multiplu de π, deci aceste puncte sunt descrise de mulțimea din dreapta din reuniunea precedentă. Iar dacă în mulțimea din stânga a reuniunii punem k = 0, obținem x = 3π/2, ceea ce corespunde punctului E, iar dacă punem k = −1, obținem x = 3π/2 − 2π = −π/2, ceea ce corespunde punctului B.

3. Rezolvă ecuația cos² x − sin²x + cos x = 0.

   În primul pas aplicăm formula sin²x = 1 − cos²x și înlocuim sinusul la pătrat:

   $$\begin{array}{r}{\cos }^{2}x-(1-{\cos }^{2}x)+\cos x=0\\ {\cos }^{2}x-1+{\cos }^{2}x+\cos x=0\end{array}$$

   În pasul următor reducem termenii:

   $$2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0$$

   Și în final facem substituția a = cos x.

   $$2a^2+a-1=0$$

   Aceasta o rezolvăm ca pe o simplă ecuație de gradul al doilea. Rezultate:

   $$a_1=-1,a_2=\frac{1}{2}$$

   La sfârșit revenim la substituție și rezolvăm perechea de ecuații cos x = −1 și $\cos x=\frac{1}{2}$, iar mulțimile rezultate le reunim. Asta e deja simplu și am făcut-o mai sus.

4. Rezolvă ecuația sin²x − cos²x = 1.

   Mai întâi aplicăm formula clasică și exprimăm cosinusul cu ajutorul sinusului. Obținem:

   $$2{\sin }^{2}x=2$$

   Împărțim la doi și scădem unu:

   $${\sin }^{2}x-1=0$$

   Acum aplicăm formula a² − b² = (a − b)(a + b):

   $$(\sin (x)-1)\cdot (\sin (x)+1)=0$$

   Produsul a două expresii este zero atunci când cel puțin una dintre expresii este nulă. Știm deja când sin x = 1 și când sin x = −1. Soluția ecuației trigonometrice este:

   $$S_4=\{\pi /2+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}\cup \{3\pi /2+2k\pi |k\in \mathbb{Z}\}=\{\pi /2+k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$$

   Figura: